Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=(x, y,-x y)
l r(t)=(cos t, sin t, t) 0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y,z)=(x,y,-xy) e a curva C é dada pela parametrização
r(t)=(cos t,;sin t,;t), 0<= t<= pi
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que fazemos substituindo a parametrização e integrando o produto escalar F( r(t))cdot r'(t).

Passo 2

Primeiro calculamos
F(r(t))=(cos t,;sin t,;-cos tsin t)
e
r'(t)=(-sin t,;cos t,;1)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar
F(r(t))cdot r'(t) =cos tcdot(-sin t)+sin tcdotcos t+(-cos tsin t)cdot1 =-cos t,sin t+sin t,cos t-cos t,sin t =-cos t,sin t

Passo 4

Fica então
integral0^pi-cos t,sin t,dt
Usamos a substituição u=sin t, du=cos t,dt, e observamos que
integral cos t,sin t,dt =12sin^2 t
Portanto
integral0^pi-cos t,sin t,dt =-12l[sin^2 tr]0^pi =-12(0-0) =0

Resposta

A integral de linha vale 0.

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