Achar o trabalho realizado pela força F=x(x+y) i+x^2 y j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x para ( 1,0 ), em seguida ao longo de um segmento de reta até (0,1), e então de volta à origem ao longo do eixo y.
Utilize o Teorema de Green.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=ointCFcdot dr
onde
F=P,i+Q,j
com
P(x,y)=x(x+y), Q(x,y)=x^2y,
e C é o contorno do triângulo de vértices (0,0)to(1,0)to(0,1)to(0,0).
Como C é fechado e percorre o triângulo no sentido anti-horário (região à esquerda), vamos usar o Teorema de Green:
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é o triângulo (x,y):x>=0,;y>=0,;x+y<=1.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(x^2y)=2xy, partial Ppartial y =partialpartial yl(x^2+xyr)=x
Logo o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2xy - x = x,(2y-1)

Passo 3

Montamos o integral duplo em coordenadas cartesianas sobre D:
W =integral duplaDx,(2y-1),dA =integralx=0^1!integraly=0^1-xx,(2y-1),dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integral0^1-x(2y-1),dy =l[y^2 - yr]0^,1-x =(1-x)^2-(1-x) =-2x+x^2+x =x^2 - x
Então
W =integral0^1xl(x^2 - xr),dx =integral0^1(x^3 - x^2),dx =l[x^44-x^33r]0^1 =14-13 =-112

Resposta

O trabalho realizado pela força ao percorrer o caminho fechado é
W=-112

Exercícios relacionados