Calcule as integrais impróprias abaixo ou diga quando são divergentes.
integral-2^3 1x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O exercício pede para calcular a integral de $ \frac{1}{x^{4}} $ de -2 até 3, ou dizer se ela diverge. A gente vai precisar entender o que são integrais impróprias, identificar pontos problemáticos na função e usar limites para resolver. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função $ \frac{1}{x^{4}} $, vemos que ela não está definida quando $ x = 0 $, porque dá divisão por zero. Como o intervalo de integração vai de -2 até 3 e inclui o ponto $ x = 0 $, precisamos dividir a integral em duas partes: uma de -2 até 0 e outra de 0 até 3. Assim, evitamos o ponto onde a função “explode”.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral:
integral-2^3 1x^4 dx = lima to 0^- integral-2^a 1x^4 dx + limb to 0^+ integralb^3 1x^4 dx
Aqui, $ a $ se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos) e $ b $ se aproxima de 0 pela direita (valores positivos).

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a integral de $ \frac{1}{x^{4}} $ é igual a $ \frac{-1}{3x^{3}} + C $. Então:
Para a primeira parte:
1x^4
Como $ a $ está se aproximando de 0 por valores negativos, $ a^{3} $ também é negativo, e $ \frac{-1}{3a^{3}} $ tende a $ +\infty $.
Para a segunda parte:
-13x^3 + C
Aqui, à medida que $ b $ se aproxima de 0 por valores positivos, $ \frac{1}{3b^{3}} $ tende a $ +\infty $.

Passo 5

Agora, somamos os limites das duas partes:
+infty + (+infty) = +infty
Isso significa que a integral total não tem um valor finito.

Resposta

A integral $ \int_{-2}^{3} \frac{1}{x^{4}} dx $ é divergente, ou seja, não converge a um valor finito.

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