Calcule as integrais impróprias abaixo ou diga quando são divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O exercício pede para calcular a integral de $ \frac{1}{x^{4}} $ de -2 até 3, ou dizer se ela diverge. A gente vai precisar entender o que são integrais impróprias, identificar pontos problemáticos na função e usar limites para resolver. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função $ \frac{1}{x^{4}} $, vemos que ela não está definida quando $ x = 0 $, porque dá divisão por zero. Como o intervalo de integração vai de -2 até 3 e inclui o ponto $ x = 0 $, precisamos dividir a integral em duas partes: uma de -2 até 0 e outra de 0 até 3. Assim, evitamos o ponto onde a função “explode”.
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral:
Aqui, $ a $ se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos) e $ b $ se aproxima de 0 pela direita (valores positivos).
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a integral de $ \frac{1}{x^{4}} $ é igual a $ \frac{-1}{3x^{3}} + C $. Então:
Para a primeira parte:
Como $ a $ está se aproximando de 0 por valores negativos, $ a^{3} $ também é negativo, e $ \frac{-1}{3a^{3}} $ tende a $ +\infty $.
Para a segunda parte:
Aqui, à medida que $ b $ se aproxima de 0 por valores positivos, $ \frac{1}{3b^{3}} $ tende a $ +\infty $.
Passo 5
Agora, somamos os limites das duas partes:
Isso significa que a integral total não tem um valor finito.
Resposta
A integral $ \int_{-2}^{3} \frac{1}{x^{4}} dx $ é divergente, ou seja, não converge a um valor finito.