Calcule as integrais impróprias abaixo ou diga quando são divergentes.
integral0^1 x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria integral0^1 x ln x , dx ou dizer se ela é divergente. Para resolver, vamos usar técnicas de cálculo integral, especialmente integração por partes, que é útil quando temos produtos de funções como x e ln x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é chamada de imprópria. Isso acontece porque o logaritmo de zero ( ln 0) não está definido—ele tende ao menos infinito quando se aproxima de zero. Então, para calcular essa integral, vamos transformar o limite inferior de 0 para um valor a que se aproxima de 0. Isso fica assim:
integral0^1 x ln x , dx = lima to 0^+ integrala^1 x ln x , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de x ln x. Vamos usar integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Para aplicar isso, escolhemos:
  • u = ln x (então du = 1x dx)
  • dv = x , dx (então v = x^22)

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
= x^22 ln x - 12 integral x , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar integral x , dx:
integral x , dx = x^22 + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - 12 cdot x^22 + C = x^22 ln x - x^24 + C

Passo 6

Voltando ao limite que definimos:
lima to 0^+ [ x^22 ln x - x^24 ]a^1
Calculando em x=1:
1^22 ln 1 - 1^24 = 0 - 14 = -14
E em x=a:
a^22 ln a - a^24

Passo 7

Agora, vamos avaliar o limite conforme a to 0^+:
  1. a^24 to 0 porque a^2 fica bem pequeno.
  2. Para a^22 ln a, temos a^2 to 0 e ln a to -infty. Isso parece confuso, mas na verdade, o produto tende a zero. Podemos ver isso reescrevendo:
a^22 ln a = ln a2a^2
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital porque temos uma forma indeterminada -infty+infty:
Derivando o numerador e o denominador:
dda (ln a) = 1a, dda ( 2a^2 ) = -4a^3
Então:
lima to 0^+ 1a-4a^3 = lima to 0^+ -a^24 = 0
Portanto, a^22 ln a to 0 conforme a to 0^+.

Resposta

Substituindo os limites, temos:
-14 - 0 = -14
Então, a integral imprópria integral0^1 x ln x , dx é igual a -14.

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