Calcule as integrais impróprias abaixo ou diga quando são divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria
ou dizer se ela é divergente. Para resolver, vamos usar técnicas de cálculo integral, especialmente integração por partes, que é útil quando temos produtos de funções como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é chamada de imprópria. Isso acontece porque o logaritmo de zero (
) não está definido—ele tende ao menos infinito quando se aproxima de zero. Então, para calcular essa integral, vamos transformar o limite inferior de 0 para um valor
que se aproxima de 0. Isso fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a antiderivada de
. Vamos usar integração por partes, que é baseada na fórmula:
Para aplicar isso, escolhemos:
-
(então ) -
(então )
Passo 4
Aplicando a fórmula, temos:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Voltando ao limite que definimos:
Calculando em
:
E em
:
Passo 7
Agora, vamos avaliar o limite conforme
:
-
porque fica bem pequeno. - Para
, temos e . Isso parece confuso, mas na verdade, o produto tende a zero. Podemos ver isso reescrevendo:
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital porque temos uma forma indeterminada
:
Derivando o numerador e o denominador:
Então:
Portanto,
conforme
.
Resposta
Substituindo os limites, temos:
Então, a integral imprópria
é igual a
.