Calcule as integrais impróprias.
(b)
integral0^2 d x1-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^2dx1 - x
Note que o integrando tem uma singularidade em x=1, pois 1-x=0 ali. Para tratar isso, precisamos dividir a integral em duas partes, usando limite para nos aproximarmos de x=1.

Passo 2

Vamos escrever
integral0^2dx1 - x =limato1^-integral0^adx1 - x +limbto1^+integralb^2dx1 - x
Aqui o primeiro limite trata a aproximação por valores menores que 1 e o segundo por valores maiores que 1.

Passo 3

Encontramos uma antiderivada de 11-x. Lembrando que
ddxl(-ln|1-x|r) =-11-xcdot(-1) =11-x,
temos
integraldx1 - x =-lnl|1 - xr| + C

Passo 4

Calculando o primeiro limite:
limato1^-integral0^adx1 - x =limato1^-l[-lnl|1 - xr|r]0^a =limato1^-l(-ln|1 - a| + ln|1 - 0|r) =limato1^-l(-ln(1 - a)r)
Mas ln(1 - a)toln(0^+)= -infty, então -ln(1 - a)to+infty. Já basta notar que essa parte diverge para +infty, tornando toda a integral divergente.

Resposta

A integral é divergente (não converge a um valor finito).

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