Calcule as integrais impróprias:
d) integral0^1 integral0^y^2 e^xy d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral dupla imprópria de 0 a 1 em y e de 0 a y² em x da função e^{x/y}. O conteúdo envolve integrais impróprias, mudança de variável em integrais simples e integração por partes.

Passo 2

Como a função e^{x/y} apresenta descontinuidade no expoente quando y→0, escrevemos a integral como limite
limbto0^+integraly=b^1integralx=0^y^2e^x/y,dx,dy
Começamos calculando a integral interna integral0^y^2e^x/y,dx usando a substituição t=x/y.

Passo 3

Fazendo t=x/y, temos x=y,t, dx=y,dt e, quando x=0, t=0; quando x=y^2, t=y. Logo
integral0^y^2e^x/y,dx=integral0^ye^t,y,dt=yintegral0^ye^t,dt=yl(e^y-1r)

Passo 4

Substituindo na integral externa e usando a propriedade da soma, obtemos
integralb^1yl(e^y-1r),dy=integralb^1y e^y,dy-integralb^1y,dy

Passo 5

Para calcular integral y e^y,dy, aplicamos integração por partes: escolhemos u=y, dv=e^ydy, obtendo
integral y e^y,dy=y e^y-integral e^y,dy=e^y(y-1)+C
E sabemos que integral y,dy=y^2/2+C.

Passo 6

Logo um antiderivado comum é
F(y)=e^y(y-1)-tfracy^22
Avaliando de y=b até y=1
F(1)-F(b)=-tfrac12-l[e^b(b-1)-tfracb^22r]=-tfrac12-e^b(b-1)+tfracb^22

Passo 7

Por fim, fazemos o limite bto0^+. Como e^b(b-1)to-1 e b^2/2to0, o resultado converge para
-tfrac12-(-1)=tfrac12

Resposta

tfrac12

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