Calcule as integrais impróprias:
d)
d)
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a integral dupla imprópria de 0 a 1 em y e de 0 a y² em x da função e^{x/y}. O conteúdo envolve integrais impróprias, mudança de variável em integrais simples e integração por partes.
Passo 2
Como a função e^{x/y} apresenta descontinuidade no expoente quando y→0, escrevemos a integral como limite
Começamos calculando a integral interna
usando a substituição
.
Passo 3
Fazendo
, temos
,
e, quando
,
; quando
,
. Logo
Passo 4
Substituindo na integral externa e usando a propriedade da soma, obtemos
Passo 5
Para calcular
, aplicamos integração por partes: escolhemos
,
, obtendo
E sabemos que
.
Passo 6
Logo um antiderivado comum é
Avaliando de
até
dá
Passo 7
Por fim, fazemos o limite
. Como
e
, o resultado converge para