Resolva os problemas abaixo.
f) Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo
e
, em relação a um eixo que contém uma das arestas
f) Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo
Passo 1
Temos um cubo homogêneo de aresta 1 definido por 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 e massa total M. Queremos o momento de inércia em relação a um eixo que contém uma aresta do cubo. O conteúdo aqui é momento de inércia de corpos contínuos, que envolve integrar r² sobre a massa usando I=∫r²
dm.
Passo 2
Para parametrizar o eixo, escolhemos o eixo z passando pela aresta onde x=0 e y=0, de forma que a distância de cada ponto até o eixo seja r=√(x²+y²). Logo r²=x²+y². Como o cubo é homogêneo, a densidade volumétrica é ρ=M/V=M/1=M. O elemento de massa é dm=ρ
dV= M
dx
dy
dz.
Passo 3
O momento de inércia fica
Passo 4
Separando integrais e calculando: