Resolva os problemas abaixo.
f) Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1, em relação a um eixo que contém uma das arestas

Passo 1

Temos um cubo homogêneo de aresta 1 definido por 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 e massa total M. Queremos o momento de inércia em relação a um eixo que contém uma aresta do cubo. O conteúdo aqui é momento de inércia de corpos contínuos, que envolve integrar r² sobre a massa usando I=∫r²
dm.

Passo 2

Para parametrizar o eixo, escolhemos o eixo z passando pela aresta onde x=0 e y=0, de forma que a distância de cada ponto até o eixo seja r=√(x²+y²). Logo r²=x²+y². Como o cubo é homogêneo, a densidade volumétrica é ρ=M/V=M/1=M. O elemento de massa é dm=ρ
dV= M
dx
dy
dz.

Passo 3

O momento de inércia fica
I=integralV r^2,dm=integral0^1integral0^1integral0^1(x^2+y^2),l(M,dx,dy,dzr)

Passo 4

Separando integrais e calculando:
I=Mintegral0^1dzl(integral0^1x^2dxcdot!1+integral0^1y^2dycdot!1r)=Mcdot1cdotl(tfrac13+tfrac13r)=Mcdottfrac23

Resposta

I=tfrac23M

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