Um estudo do meio ambiente de uma comunidade indica que existirão
unidades de substâncias poluindo o ar, quando a população for de
milhares de habitantes. A população atual é de 30000 habitantes e está crescendo numa taxa de 2000 habitantes por ano. De quanto o nível de ar poluído está aumentando?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está nos dizendo. Temos uma função que relaciona a quantidade de substâncias poluentes no ar, chamada
, onde
representa a população em milhares de habitantes. Atualmente, a população é de 30.000 habitantes (ou seja,
milhares) e está crescendo a uma taxa de 2000 habitantes por ano (ou seja,
milhares por ano). Nosso objetivo é descobrir quanto o nível de poluição está aumentando por ano, ou seja, encontrar
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que
é uma função de
, e
é uma função do tempo
. Para encontrar como
está mudando em relação ao tempo, usamos o conceito de derivada em relação ao tempo, aplicando a regra da cadeia da derivada. A regra da cadeia nos permite calcular a taxa de variação de uma função composta.
Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Dada a função:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, substituímos o valor atual de
na derivada que encontramos. Sabemos que
milhares.
Então:
Passo 5
Sabemos também que a taxa de crescimento da população é
milhares por ano.
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Resposta
O nível de ar poluído está aumentando a uma taxa de 126 unidades por ano.