Um estudo do meio ambiente de uma comunidade indica que existirão Q(p)=p^2+3 p+1.200 unidades de substâncias poluindo o ar, quando a população for de p milhares de habitantes. A população atual é de 30000 habitantes e está crescendo numa taxa de 2000 habitantes por ano. De quanto o nível de ar poluído está aumentando?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está nos dizendo. Temos uma função que relaciona a quantidade de substâncias poluentes no ar, chamada , onde representa a população em milhares de habitantes. Atualmente, a população é de 30.000 habitantes (ou seja, milhares) e está crescendo a uma taxa de 2000 habitantes por ano (ou seja, milhares por ano). Nosso objetivo é descobrir quanto o nível de poluição está aumentando por ano, ou seja, encontrar .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que dQdt = dQdp cdot dpdt é uma função de , e é uma função do tempo . Para encontrar como está mudando em relação ao tempo, usamos o conceito de derivada em relação ao tempo, aplicando a regra da cadeia da derivada. A regra da cadeia nos permite calcular a taxa de variação de uma função composta.
Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Vamos calcular Q(p) = p^2 + 3p + 1200 , que é a derivada de dQdp = 2p + 3 em relação a .
Dada a função:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos o valor atual de dQdp = 2(30) + 3 = 60 + 3 = 63 na derivada que encontramos. Sabemos que milhares.
Então:

Passo 5

Sabemos também que a taxa de crescimento da população é dQdt = dQdp cdot dpdt = 63 cdot 2 = 126 milhares por ano.
Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Resposta

O nível de ar poluído está aumentando a uma taxa de 126 unidades por ano.

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