Calcule as integrais improprias, decida se são convergentes ou divergentes:
\int_{-1}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}
que é imprópria porque o integrando \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} fica singular em x = \pm1. Vamos usar definição de integral imprópria, simetria de funções pares e primitiva conhecida.

Passo 2

Identificamos os pontos de descontinuidade no denominador, x\to -1^{+} e x\to 1^{-}. Definimos
\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} =\lim_{a\to-1^{+}}\lim_{b\to1^{-}} \int_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Passo 3

Observamos que a função f(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} é par, isto é, f(-x)=f(x). Logo
\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} =2\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Passo 4

Sabemos que uma primitiva de \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} é \arcsin(x), pois
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.
Assim, para 0\le b<1,
\int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} =\arcsin(b)-\arcsin(0) =\arcsin(b).

Passo 5

Fazendo b\to1^{-} temos \arcsin(b)\to\arcsin(1)=\tfrac{\pi}{2}. Portanto,
\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} =\frac{\pi}{2},
e
\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} =2\cdot\frac{\pi}{2} =\pi.
Como o resultado é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e vale \pi.

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