\int_{1}^{12} x^{-6 / 3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{1}^{12} x^{-6/3}\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de funções do tipo potência, onde usaremos a regra \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).

Passo 2

Primeiro, simplificamos o expoente
-6/3 = -2,
logo a integral fica \displaystyle \int_{1}^{12} x^{-2}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra da potência com n = -2, temos a antiderivada
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\,x^{-1}.

Passo 4

Para calcular a integral definida, avaliamos a antiderivada nos limites de 1 a 12:
\left[-\,x^{-1}\right]_{1}^{12} = \bigl(-\,12^{-1}\bigr) \;-\;\bigl(-\,1^{-1}\bigr).

Passo 5

Calculando cada termo, obtemos
-\,12^{-1} = -\frac{1}{12}, \quad -\,1^{-1} = -1,
então
-\frac{1}{12} - (-1) = -\frac{1}{12} + 1 = \frac{11}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{12}

Exercícios relacionados