Calcule as integrais improprias, decida se são convergentes ou divergentes:
\int_{-\infty}^{0} \frac{d x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{x^{2}+1}
e decidir se ela é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é integral imprópria em que o limite de integração é infinito, e vamos usar a definição via limite e a antiderivada de 1/(x^{2}+1).

Passo 2

Para tratar a impropriedade no limite inferior, escrevemos
\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{x^{2}+1} =\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0}\frac{dx}{x^{2}+1}.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de \tfrac{1}{x^{2}+1}. Sabemos que
\int \frac{dx}{x^{2}+1} = \arctan(x) + C.

Passo 4

Usando a antiderivada em forma de limite, obtemos
\lim_{a\to -\infty}\left[\arctan(x)\right]_{x=a}^{x=0} =\lim_{a\to -\infty}\bigl(\arctan(0)-\arctan(a)\bigr).
Como \arctan(0)=0 e \lim_{a\to -\infty}\arctan(a)=-\tfrac{\pi}{2}, segue que
\arctan(0)-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

O valor da integral é finito e igual a \tfrac{\pi}{2}. Logo, a integral é convergente.

Resposta

A integral converge e vale \displaystyle \frac{\pi}{2}.

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