Calcule as integrais improprias, decida se são convergentes ou divergentes:
\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{\pi}}

Passo 1

O enunciado pede a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{\pi}}
que tem singularidade em x=0. Vamos usar o critério das chamadas “integral p” ou então encontrar uma primitiva e estudar o limite quando o ponto singular é aproximado.

Passo 2

Calculemos uma primitiva de x^{-\pi}. Como \pi\neq1, temos
\int x^{-\pi}\,dx =\frac{x^{1-\pi}}{1-\pi}.
Logo, para \epsilon>0,
\int_{\epsilon}^{1}\frac{dx}{x^{\pi}} =\left[\frac{x^{1-\pi}}{1-\pi}\right]_{\epsilon}^{1} =\frac{1-\epsilon^{\,1-\pi}}{1-\pi}.

Passo 3

Note que 1-\pi<0, isto é, 1-\pi=-(\pi-1). Logo
\epsilon^{\,1-\pi} =\epsilon^{-(\pi-1)} =\frac{1}{\epsilon^{\pi-1}} \;\xrightarrow{\epsilon\to0^+}\;+\infty.
Assim o numerador 1-\epsilon^{1-\pi} tende a -\infty, e como 1-\pi<0 o quociente \frac{1-\epsilon^{1-\pi}}{1-\pi} tende a +\infty. Logo a integral não possui valor finito.

Resposta

A integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{\pi}} é divergente.

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