Calcule as integrais improprias, decida se são convergentes ou divergentes: \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{\pi}}
Passo 1
O enunciado pede a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{\pi}}
que tem singularidade em x=0. Vamos usar o critério das chamadas “integral p” ou então encontrar uma primitiva e estudar o limite quando o ponto singular é aproximado.
Passo 2
Calculemos uma primitiva de x^{-\pi}. Como \pi\neq1, temos
Assim o numerador 1-\epsilon^{1-\pi} tende a -\infty, e como 1-\pi<0 o quociente \frac{1-\epsilon^{1-\pi}}{1-\pi} tende a +\infty. Logo a integral não possui valor finito.
Resposta
A integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{\pi}} é divergente.