Calcule as integrais improprias, decida se são convergentes ou divergentes:
\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{e}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{e}},
onde e é a constante de Euler e\approx2,718. Esta integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Vamos usar o conceito de integral imprópria e a antiderivada de x^{-e} para decidir convergência e obter o valor.

Passo 2

Primeiro, encontramos a antiderivada de f(x)=x^{-e}. Como e\neq1, usamos a fórmula
\int x^{a}\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1},
com a=-e. Assim,
\int x^{-e}\,dx = \frac{x^{-e+1}}{-e+1} = \frac{x^{1-e}}{1-e}.

Passo 3

Escrevemos a integral imprópria como um limite finito:
\int_{1}^{\infty}x^{-e}\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R}x^{-e}\,dx = \lim_{R\to\infty}\left[\frac{x^{1-e}}{1-e}\right]_{1}^{R} = \lim_{R\to\infty}\frac{R^{1-e}-1}{1-e}.

Passo 4

Como e>1, temos 1-e<0. Logo R^{1-e}\to0 quando R\to\infty. Portanto,
\lim_{R\to\infty}\frac{R^{1-e}-1}{1-e} = \frac{0-1}{1-e} = \frac{1}{e-1},
que é finito. Concluímos que a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e vale
\frac{1}{e-1}.

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