Calcule as integrais improprias, decida se são convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
onde
é a constante de Euler
. Esta integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Vamos usar o conceito de integral imprópria e a antiderivada de
para decidir convergência e obter o valor.
Passo 2
Primeiro, encontramos a antiderivada de
. Como
, usamos a fórmula
com
. Assim,
Passo 3
Escrevemos a integral imprópria como um limite finito:
Passo 4
Como
, temos
. Logo
quando
. Portanto,
que é finito. Concluímos que a integral converge.
Resposta
A integral é convergente e vale