Calcule as integrais impróprias
Determine para que valores de
a integral
é convergente.
(Resposta: A integral converge $\Leftrightarrow p>1$ )
Determine para que valores de
(Resposta: A integral converge $\Leftrightarrow p>1$ )
Passo 1
O enunciado pede: determinar para quais valores de
a integral imprópria
é convergente. Informação dada: a integral é imprópria porque o intervalo de integração é infinito (em
). A tarefa é analisar a convergência dependendo do parâmetro
.
Passo 2
Definição prática de integral imprópria que vou usar: a integral
é definida como limite
A integral converge se esse limite existir e for finito; caso contrário diverge. Vamos calcular a integral definida em
e depois tomar o limite
.
Passo 3
Calculo da primitiva para o caso geral
. Regra da potência para integração: para
,
Aqui
, então
. Assim, para
a primitiva de
é
Aplicando aos limites de
a
:
Agora tomamos o limite quando
:
O comportamento desse limite depende do sinal do expoente
:
- Se
(ou seja, ), então quando . Assim
que é finito. Logo a integral converge quando
e, além disso, seu valor é
.
- Se
(ou seja, ), então quando . Assim e a integral diverge.
Passo 4
Caso especial
. A integral fica
Portanto para
a integral também diverge (a conhecida divergência da integral do tipo harmônico).
Passo 5
Resumo do resultado: a integral converge somente quando
; para
ela diverge. Quando converge, o valor é
.
Resposta
A integral converge