Calcule as integrais impróprias
Determine para que valores de p \in \mathbb{R}\ a integral \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x\ é convergente.
(Resposta: A integral converge $\Leftrightarrow p>1$ )

Passo 1

O enunciado pede: determinar para quais valores de p\in\mathbb{R} a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx
é convergente. Informação dada: a integral é imprópria porque o intervalo de integração é infinito (em +\infty). A tarefa é analisar a convergência dependendo do parâmetro p.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria que vou usar: a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx
é definida como limite
I(p)=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{p}}\,dx.
A integral converge se esse limite existir e for finito; caso contrário diverge. Vamos calcular a integral definida em [1,b] e depois tomar o limite b\to\infty.

Passo 3

Calculo da primitiva para o caso geral p\neq 1. Regra da potência para integração: para \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
Aqui \alpha=-p, então \alpha+1=1-p. Assim, para p\neq 1 a primitiva de x^{-p} é
\int x^{-p}\,dx=\frac{x^{1-p}}{1-p}+C.
Aplicando aos limites de 1 a b:
\int_{1}^{b}x^{-p}\,dx=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{b}=\frac{b^{1-p}-1}{1-p}.
Agora tomamos o limite quando b\to\infty:
I(p)=\lim_{b\to\infty}\frac{b^{1-p}-1}{1-p}.
O comportamento desse limite depende do sinal do expoente 1-p:
  • Se 1-p<0 (ou seja, p>1), então b^{1-p}\to 0 quando b\to\infty. Assim
I(p)=\frac{0-1}{1-p}=\frac{1}{p-1},
que é finito. Logo a integral converge quando p>1 e, além disso, seu valor é \dfrac{1}{p-1}.
  • Se 1-p>0 (ou seja, p<1), então b^{1-p}\to\infty quando b\to\infty. Assim I(p)=\infty e a integral diverge.

Passo 4

Caso especial p=1. A integral fica
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{b\to\infty}(\ln b-\ln 1)=\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty.
Portanto para p=1 a integral também diverge (a conhecida divergência da integral do tipo harmônico).

Passo 5

Resumo do resultado: a integral converge somente quando p>1; para p\le 1 ela diverge. Quando converge, o valor é \dfrac{1}{p-1}.

Resposta

A integral converge \Leftrightarrow p>1

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