Determine a solução geral das equações diferenciais dadas:
(1+x) \frac{d y}{d x}-x y=x+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+x)\frac{dy}{dx}-x\,y = x + x^{2}
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes que já aparecem no enunciado:
  • A equação envolve a derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • Há um fator (1+x) multiplicando \dfrac{dy}{dx}, portanto deve-se tomar cuidado com x=-1 (ponto onde a divisão por 1+x seria proibida).
  • O objetivo é encontrar a família de soluções y(x) contendo uma constante arbitrária C.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação numa forma padrão para resolver (transformar para uma equação da forma que permita aplicar um fator integrante). Divido toda a equação por 1+x (assumindo provisoriamente x\neq-1):
\frac{dy}{dx}-\frac{x}{1+x}\,y=\frac{x+x^{2}}{1+x}.
Simplifico o lado direito:
\frac{x+x^{2}}{1+x} = x\cdot\frac{1+x}{1+x} = x.
Logo a equação reescrita é
\frac{dy}{dx}-\frac{x}{1+x}\,y = x.
Aqui cada termo significa:
  • \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x.
  • -\dfrac{x}{1+x} é a função que multiplica y.
  • x é o termo não homogêneo (lado direito).
    A estratégia será usar o fator integrante para equações do tipo \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x).

Passo 3

Explico o método do fator integrante (didático): para uma equação da forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Multiplicando a equação por \mu(x) torna o lado esquerdo a derivada do produto \mu(x)y, isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)q(x).
No nosso caso p(x)=-\dfrac{x}{1+x}. Calculo a integral de p(x):
\int -\frac{x}{1+x}\,dx.
Faço uma decomposição algébrica para integrar facilmente:
-\frac{x}{1+x} = -\frac{1+x-1}{1+x} = -1 + \frac{1}{1+x}.
Portanto
\int -\frac{x}{1+x}\,dx = \int\Big(-1+\frac{1}{1+x}\Big)dx = -x + \ln|1+x| + C.
Escolhendo a constante zero dentro do exponencial, o fator integrante é
\mu(x) = e^{-x+\ln|1+x|} = |1+x|\,e^{-x}.
Para trabalhar com um fator integrante simples e fixando o domínio onde 1+x>0 (ou simplesmente absorvendo o sinal na constante de integração mais adiante), uso
\mu(x)=(1+x)\,e^{-x}.

Passo 4

Multiplico a equação padrão por \mu(x)=(1+x)e^{-x}. A equação padronizada era
\frac{dy}{dx}-\frac{x}{1+x}y = x.
Multiplicando,
(1+x)e^{-x}\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}(1+x)e^{-x}y = (1+x)e^{-x}\,x.
Simplificando o segundo termo à esquerda:
(1+x)e^{-x}\frac{dy}{dx} - x e^{-x} y = (1+x)x e^{-x}.
Por construção do fator integrante o lado esquerdo é a derivada do produto (1+x)e^{-x}y. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big((1+x)e^{-x}y\big) = (x+x^{2})e^{-x}.

Passo 5

Agora integro ambos os lados em relação a x:
(1+x)e^{-x}y = \int (x+x^{2})e^{-x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Preciso calcular
\int (x+x^{2})e^{-x}\,dx = \int x e^{-x}\,dx + \int x^{2}e^{-x}\,dx.
Faço cada integral separadamente por partes (método de integração por partes: \int u\,dv = uv - \int v\,du).
(i) Para \int x e^{-x}\,dx: tomo u=x, dv=e^{-x}dx. Então du=dx, v=-e^{-x}. Logo
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C_{1} = -(x+1)e^{-x} + C_{1}.
(ii) Para \int x^{2} e^{-x}\,dx: tomo u=x^{2}, dv=e^{-x}dx. Então du=2x\,dx, v=-e^{-x}. Assim
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + \int 2x e^{-x}\,dx.
Já calculei \int x e^{-x}\,dx, então
\int x^{2} e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\big(-(x+1)e^{-x}\big) + C_{2} = -(x^{2}+2x+2)e^{-x} + C_{2}.
Somando (i) e (ii):
\int (x+x^{2})e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} - (x^{2}+2x+2)e^{-x} + C
= -(x^{2}+3x+3)e^{-x} + C.

Passo 6

Voltando à relação integrada:
(1+x)e^{-x}y = -(x^{2}+3x+3)e^{-x} + C.
Multiplico ambos os lados por e^{x} para simplificar:
(1+x)y = -(x^{2}+3x+3) + C e^{x}.
Isolo y:
y = \frac{-(x^{2}+3x+3) + C e^{x}}{1+x}.
Posso simplificar a parte polinomial dividindo -(x^{2}+3x+3) por 1+x. Observação rápida (divisão de polinômios):
x^{2}+3x+3 = (x+1)(x+2) + 1,
portanto
-(x^{2}+3x+3) = -(x+1)(x+2) -1.
Assim
y = \frac{-(x+1)(x+2)-1 + C e^{x}}{1+x} = -(x+2) - \frac{1}{1+x} + \frac{C e^{x}}{1+x}.
Portanto uma forma mais “desmembrada” da solução é
y(x) = -x - 2 - \frac{1}{1+x} + \frac{C e^{x}}{1+x},
com C constante arbitrária e lembrando que x\neq-1.

Passo 7

Resumo do que foi feito e dica para a prova (curta e motivadora): transformou-se a equação para a forma conveniente, usou-se o fator integrante \mu(x)=(1+x)e^{-x}, integrou-se o lado direito com integração por partes, e isolou-se y. Na prova, se aparecer algo parecido, tente sempre simplificar o lado direito antes de integrar (aqui reduziu para x), e lembre-se da técnica de decomposição algébrica para integrar funções racionais simples dentro do exponencial.

Resposta

y(x)=\frac{-(x^{2}+3x+3)+C e^{x}}{1+x} \quad\text{ou}\quad y(x)=-x-2-\frac{1}{1+x}+\frac{C e^{x}}{1+x},\\ \\ C\in\mathbb{R},\\ x\neq-1.

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