Determine a solução geral das equações diferenciais dadas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes que já aparecem no enunciado:
- A equação envolve a derivada
. - Há um fator
multiplicando , portanto deve-se tomar cuidado com (ponto onde a divisão por seria proibida). - O objetivo é encontrar a família de soluções
contendo uma constante arbitrária .
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação numa forma padrão para resolver (transformar para uma equação da forma que permita aplicar um fator integrante). Divido toda a equação por
(assumindo provisoriamente
):
Simplifico o lado direito:
Logo a equação reescrita é
Aqui cada termo significa:
-
é a derivada de em relação a . -
é a função que multiplica . -
é o termo não homogêneo (lado direito).
A estratégia será usar o fator integrante para equações do tipo.
Passo 3
Explico o método do fator integrante (didático): para uma equação da forma
o fator integrante
é definido por
Multiplicando a equação por
torna o lado esquerdo a derivada do produto
, isto é,
No nosso caso
. Calculo a integral de
:
Faço uma decomposição algébrica para integrar facilmente:
Portanto
Escolhendo a constante zero dentro do exponencial, o fator integrante é
Para trabalhar com um fator integrante simples e fixando o domínio onde
(ou simplesmente absorvendo o sinal na constante de integração mais adiante), uso
Passo 4
Multiplico a equação padrão por
. A equação padronizada era
Multiplicando,
Simplificando o segundo termo à esquerda:
Por construção do fator integrante o lado esquerdo é a derivada do produto
. Ou seja,
Passo 5
Agora integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Preciso calcular
Faço cada integral separadamente por partes (método de integração por partes:
).
(i) Para
: tomo
,
. Então
,
. Logo
(ii) Para
: tomo
,
. Então
,
. Assim
Já calculei
, então
Somando (i) e (ii):
Passo 6
Voltando à relação integrada:
Multiplico ambos os lados por
para simplificar:
Isolo
:
Posso simplificar a parte polinomial dividindo
por
. Observação rápida (divisão de polinômios):
portanto
Assim
Portanto uma forma mais “desmembrada” da solução é
com
constante arbitrária e lembrando que
.
Passo 7
Resumo do que foi feito e dica para a prova (curta e motivadora): transformou-se a equação para a forma conveniente, usou-se o fator integrante
, integrou-se o lado direito com integração por partes, e isolou-se
. Na prova, se aparecer algo parecido, tente sempre simplificar o lado direito antes de integrar (aqui reduziu para
), e lembre-se da técnica de decomposição algébrica para integrar funções racionais simples dentro do exponencial.