Calcule:
\int_{3 / 2}^{4}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-2} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{3/2}^{4}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-2}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{-2}.
  • Os limites de integração são x=3/2 (limite inferior) e x=4 (limite superior).
O que a questão quer: determinar se a integral é convergente e, se for, calcular o seu valor; se for divergente, dizer para onde diverge.

Passo 2

Observação sobre a função no intervalo: a função \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{-2} tem uma singularidade em x=\dfrac{3}{2} (o denominador x-\dfrac{3}{2} fica zero ali). Como essa singularidade coincide com o limite de integração inferior, estamos diante de uma integral imprópria. Isso significa que devemos interpretar a integral como um limite lateral a partir da direita do ponto singular.
Formalmente, definimos a integral imprópria como
\int_{3/2}^{4}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-2}\,dx :=\lim_{t\to(3/2)^{+}}\int_{t}^{4}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-2}\,dx,
se esse limite existir (for finito).

Passo 3

Vou encontrar uma primitiva (antiderivada) da função \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{-2}. Para isso lembro a regra básica: para \alpha\neq -1,
\frac{d}{dx}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{\alpha} =\alpha\left(x-\frac{3}{2}\right)^{\alpha-1}.
Escolhendo \alpha=-1 obtém-se
\frac{d}{dx}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-1} =-1\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-2}.
Portanto uma primitiva de \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{-2} é
-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-1}+C.

Passo 4

Calculo a integral de t até 4 usando a primitiva e depois tomo o limite t\to(3/2)^{+}:
\int_{t}^{4}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-2}\,dx =\left[-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-1}\right]_{x=t}^{x=4} = -\frac{1}{4-\tfrac{3}{2}} + \frac{1}{t-\tfrac{3}{2}}.
Faço a conta 4-\tfrac{3}{2}=\tfrac{8}{2}-\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}, então
-\frac{1}{4-\tfrac{3}{2}} = -\frac{1}{5/2} = -\frac{2}{5}.
Assim
\int_{t}^{4}\left(x-\frac{3}{2}\right)^{-2}\,dx = -\frac{2}{5} + \frac{1}{t-\tfrac{3}{2}}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando t\to(3/2)^{+}. Note que t-\tfrac{3}{2}>0 e tende para 0^{+}, então \dfrac{1}{t-\tfrac{3}{2}}\to +\infty. Portanto
\lim_{t\to(3/2)^{+}}\left(-\frac{2}{5} + \frac{1}{t-\tfrac{3}{2}}\right) = +\infty.
Conclui-se que a integral imprópria não é finita: ela diverge e tende a +\infty.

Passo 6

Comentário adicional (intuição pelo teste-p): perto de x=\tfrac{3}{2} a integral tem o mesmo comportamento de \int_{0}^{\delta} u^{-2}\,du (fazendo u=x-\tfrac{3}{2}). Em geral, \int_{0}^{\delta} u^{-p}\,du converge se e só se p<1. Aqui p=2\ge 1, portanto diverge — mesma conclusão obtida antes. Isso só reforça a interpretação do resultado.

Resposta

Diverge para +\infty

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