Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior).
O que a questão quer: determinar se a integral é convergente e, se for, calcular o seu valor; se for divergente, dizer para onde diverge.
Passo 2
Observação sobre a função no intervalo: a função
tem uma singularidade em
(o denominador
fica zero ali). Como essa singularidade coincide com o limite de integração inferior, estamos diante de uma integral imprópria. Isso significa que devemos interpretar a integral como um limite lateral a partir da direita do ponto singular.
Formalmente, definimos a integral imprópria como
se esse limite existir (for finito).
Passo 3
Vou encontrar uma primitiva (antiderivada) da função
. Para isso lembro a regra básica: para
,
Escolhendo
obtém-se
Portanto uma primitiva de
é
Passo 4
Calculo a integral de
até
usando a primitiva e depois tomo o limite
:
Faço a conta
, então
Assim
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. Note que
e tende para
, então
. Portanto
Conclui-se que a integral imprópria não é finita: ela diverge e tende a
.
Passo 6
Comentário adicional (intuição pelo teste-p): perto de
a integral tem o mesmo comportamento de
(fazendo
). Em geral,
converge se e só se
. Aqui
, portanto diverge — mesma conclusão obtida antes. Isso só reforça a interpretação do resultado.
Resposta
Diverge para