Calcule as integrais impróprias e diga se converge ou diverge.
integral-infty^infty x^4 e^-x^5 d x

Passo 1

Temos a integral imprópria integral-infty^inftyx^4e^-x^5,dx. O conteúdo aqui é integração imprópria em limites infinitos, e vamos precisar dividir o domínio e usar substituição para testar convergência.

Passo 2

Dividimos a integral em duas partes: integral-infty^inftyx^4e^-x^5,dx = integral-infty^0x^4e^-x^5,dx + integral0^inftyx^4e^-x^5,dx Assim podemos analisar cada trecho separadamente.

Passo 3

Para integral0^inftyx^4e^-x^5,dx, fazemos a substituição u=x^5, logo du=5x^4,dx e x^4,dx=du/5. Os limites viram de x=0 em u=0 até xtoinfty em utoinfty. Assim
integral0^inftyx^4e^-x^5,dx = 15integral0^inftye^-u,du = 15l[-e^-ur]0^infty = 15

Passo 4

Para integral-infty^0x^4e^-x^5,dx, usamos a mesma substituição u=x^5. Agora quando xto-infty temos uto-infty e em x=0 temos u=0. Logo
integral-infty^0x^4e^-x^5,dx = 15integral-infty^0e^-u,du

Passo 5

Mas integral-infty^0e^-u,du = limato-inftyl[-e^-ur]a^0 = limato-infty(1 - e^-a) = infty. Ou seja, essa parte diverge.

Passo 6

Como uma das partes diverge, a integral imprópria original integral-infty^inftyx^4e^-x^5,dx diverge.

Resposta

A integral diverge.

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