Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Teorema da Comparação para determinar se a integral
é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e comparar a função dada com outra que seja mais fácil de analisar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dentro da integral:
. Sabemos que
é a função arco-tangente, que para valores de
grandes, tende a
. Ou seja, existe um limite:
Isso nos diz que, para
,
está sempre acima de zero e abaixo de
:
Passo 3
Agora, vamos comparar a função
com uma função mais simples, por exemplo,
. Já que
, multiplicando ambos os lados por
(que é positivo para
), temos:
Isso significa que a nossa função original está acima de zero e abaixo de
.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema da Comparação. Esse teorema diz que se temos duas funções
e
tais que
para todo
no intervalo considerado, então:
- Se
converge, então também converge. - Se
diverge, então também diverge.
Passo 5
Vamos calcular a integral de comparação:
Sabemos que a integral da função
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a integral:
converge.
Passo 6
Como vimos que:
e a integral de
converge, pelo Teorema da Comparação, a integral original:
também converge.
Resposta
A integral
é convergente.