Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
integral1^infty tg^-1 xx^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Teorema da Comparação para determinar se a integral
integral1^infty tan^-1 xx^5 , dx
é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e comparar a função dada com outra que seja mais fácil de analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dentro da integral: tan^-1 xx^5. Sabemos que tan^-1 x é a função arco-tangente, que para valores de x grandes, tende a pi2. Ou seja, existe um limite:
limx to infty tan^-1 x = pi2
Isso nos diz que, para x >= 1, tan^-1 x está sempre acima de zero e abaixo de pi2:
0 <= tan^-1 x <= pi2

Passo 3

Agora, vamos comparar a função tan^-1 xx^5 com uma função mais simples, por exemplo, pi/2x^5. Já que tan^-1 x <= pi2, multiplicando ambos os lados por 1x^5 (que é positivo para x >= 1), temos:
tan^-1 xx^5 <= pi/2x^5
Isso significa que a nossa função original está acima de zero e abaixo de pi/2x^5.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema da Comparação. Esse teorema diz que se temos duas funções f(x) e g(x) tais que 0 <= f(x) <= g(x) para todo x no intervalo considerado, então:
  • Se integral g(x) , dx converge, então integral f(x) , dx também converge.
  • Se integral f(x) , dx diverge, então integral g(x) , dx também diverge.

Passo 5

Vamos calcular a integral de comparação:
integral1^infty pi/2x^5 , dx = pi2 integral1^infty 1x^5 , dx
Sabemos que a integral da função 1x^p converge se p > 1. No nosso caso, p = 5, que é maior que 1. Portanto, a integral:
integral1^infty 1x^5 , dx
converge.

Passo 6

Como vimos que:
0 <= tan^-1 xx^5 <= pi/2x^5
e a integral de pi/2x^5 converge, pelo Teorema da Comparação, a integral original:
integral1^infty tan^-1 xx^5 , dx
também converge.

Resposta

A integral integral1^infty tan^-1 xx^5 , dx é convergente.

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