Calcule as integrais impróprias e diga se converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
do 0 até 5 e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias, em especial o critério das p-integrals. Vamos precisar reescrever o integrando, encontrar a primitiva e analisar o comportamento no ponto singular x=0.
Passo 2
Reescrevemos o integrando usando potências de x:
Como o ponto problemático é x=0, definimos a integral imprópria como limite:
Passo 3
Agora calculamos a primitiva de x^{-3/2}. Pela regra , com n=-3/2, obtemos:
Aplicando nos limites ε e 5:
Passo 4
Para decidir convergência, fazemos o limite quando varepsilonto0^+: