Calcule as integrais impróprias e diga se converge ou diverge.
integral0^5 1x raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^5 1xraizx,dx
do 0 até 5 e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias, em especial o critério das p-integrals. Vamos precisar reescrever o integrando, encontrar a primitiva e analisar o comportamento no ponto singular x=0.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando potências de x:
1xraizx = x^-1cdot x^-1/2 = x^-3/2
Como o ponto problemático é x=0, definimos a integral imprópria como limite:
integral0^5 x^-3/2,dx = limvarepsilonto0^+ integralvarepsilon^5 x^-3/2,dx

Passo 3

Agora calculamos a primitiva de x^{-3/2}. Pela regra integral x^n dx = x^n+1/(n+1), com n=-3/2, obtemos:
integral x^-3/2,dx = x^-1/2-1/2 = -2,x^-1/2
Aplicando nos limites ε e 5:
-2x^-1/2|varepsilon^5 = -2,5^-1/2 -l(-2,varepsilon^-1/2r) = -2raiz5 + 2raizvarepsilon

Passo 4

Para decidir convergência, fazemos o limite quando varepsilonto0^+:
-2raiz5 + 2raizvarepsilon ;xrightarrow[varepsilonto0^+]; +infty
Como o resultado vai ao infinito, concluímos que a integral não converge, ou seja, diverge.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados