Calcule as integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - O denominador fatoriza-se como
, ou seja . - O intervalo de integração é
e é um ponto interior onde o denominador é zero, logo a integral é imprópria por singularidade interior. - O que se pede é determinar o valor da integral (ou concluir que ela diverge), isto é, verificar se os limites que definem a integral imprópria são finitos e, se forem, calcular o valor.
Passo 2
Definição e estratégia: por ter singularidade em
dividimos a integral em duas integrais próprias-limitantes e usamos limites laterais. Escrevemos
A integral original converge somente se ambos os limites à direita existirem e forem finitos. Vou encontrar uma primitiva formal para a função e usar essa primitiva para estudar os limites quando
.
Passo 3
Cálculo da primitiva por integração por partes (mostrando a técnica passo a passo).
Tomemos
Então
porque
.
Pela fórmula de integração por partes
obtemos
Passo 4
Cálculo da integral racional remanescente por frações parciais.
Precisamos integrar
. Fazemos frações parciais:
Multiplicando por
vem
. Tomando
dá
. Tomando
dá
. Logo
Integrando termo a termo:
Passo 5
Montagem da primitiva completa e simplificação.
Voltando à expressão do Passo 3,
Assim uma primitiva conveniente é
Vamos usar
para estudar os limites das integrais improprias nas proximidades de
.
Passo 6
Estudo do comportamento de
quando
.
Primeiro note que
é contínua e
. Para
muito próximo de
podemos escrever
com
. Observe o comportamento dos termos:
-
tem singularidade do tipo e domina qualquer singularidade logarítmica quando . -
diverge apenas logaritmicamente (mais lentamente que ).
Agora os limites laterais:
- Para
temos e pequeno, então com dá . O termo tende a mas mais fracamente; portanto o termo domina e faz quando . - Para
temos pequeno, então com dá . O termo tende a mais lentamente; assim o termo domina e faz quando .
Em resumo:
Passo 7
Conclusão sobre as integrais parciais e sobre a integral imprópria total.
Calculemos os limites que definem as integrais impróprias usando
. Para a porção esquerda:
Como
e
é finito, esse limite é
. Para a porção direita:
Como
e
é finito, esse limite é
também (porque
). Portanto ambas as integrais parciais divergem para menos infinito.
Como pelo menos uma (na verdade ambas) das integrais limitantes não é finita, a integral imprópria original não converge — ela diverge, e de fato tende a
.
(Observação: outra forma de ver a divergência é comparar para
próximos de
com
usando continuidade de
; a integral de
ao redor de
diverge, o que dá o mesmo resultado.)
Resposta
A integral é divergente; mais precisamente, ela tende a
, ou seja, a integral diverge para
.