Calcule as integrais impróprias:
\int_{1}^{4}-\frac{\ln (x)}{x^{2}-4 x+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{4}-\frac{\ln(x)}{x^{2}-4x+4}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é -\dfrac{\ln(x)}{x^{2}-4x+4}.
  • O denominador fatoriza-se como (x-2)^{2}, ou seja x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
  • O intervalo de integração é [1,4] e x=2 é um ponto interior onde o denominador é zero, logo a integral é imprópria por singularidade interior.
  • O que se pede é determinar o valor da integral (ou concluir que ela diverge), isto é, verificar se os limites que definem a integral imprópria são finitos e, se forem, calcular o valor.

Passo 2

Definição e estratégia: por ter singularidade em x=2 dividimos a integral em duas integrais próprias-limitantes e usamos limites laterais. Escrevemos
\int_{1}^{4}-\frac{\ln(x)}{(x-2)^{2}}\,dx = \lim_{a\to2^-}\int_{1}^{a}-\frac{\ln(x)}{(x-2)^{2}}\,dx + \lim_{b\to2^+}\int_{b}^{4}-\frac{\ln(x)}{(x-2)^{2}}\,dx.
A integral original converge somente se ambos os limites à direita existirem e forem finitos. Vou encontrar uma primitiva formal para a função e usar essa primitiva para estudar os limites quando x\to2^\pm.

Passo 3

Cálculo da primitiva por integração por partes (mostrando a técnica passo a passo).
Tomemos
u = -\ln(x),\qquad dv = \frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx.
Então
du = -\frac{1}{x}\,dx,\qquad v = -\frac{1}{x-2},
porque \displaystyle\int (x-2)^{-2}dx = -(x-2)^{-1}.
Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos
\int -\frac{\ln(x)}{(x-2)^{2}}\,dx = u v - \int v\,du = \frac{\ln(x)}{x-2} - \int \frac{1}{x(x-2)}\,dx.

Passo 4

Cálculo da integral racional remanescente por frações parciais.
Precisamos integrar \displaystyle\int\frac{1}{x(x-2)}\,dx. Fazemos frações parciais:
\frac{1}{x(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}.
Multiplicando por x(x-2) vem 1 = A(x-2)+Bx. Tomando x=0 1=-2A\Rightarrow A=-\tfrac{1}{2}. Tomando x=2 1=2B\Rightarrow B=\tfrac{1}{2}. Logo
\frac{1}{x(x-2)} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-2}.
Integrando termo a termo:
\int\frac{1}{x(x-2)}\,dx = -\frac{1}{2}\ln(x) + \frac{1}{2}\ln|x-2| + C.

Passo 5

Montagem da primitiva completa e simplificação.
Voltando à expressão do Passo 3,
\int -\frac{\ln(x)}{(x-2)^{2}}\,dx = \frac{\ln(x)}{x-2} -\Bigl(-\frac{1}{2}\ln(x) + \frac{1}{2}\ln|x-2|\Bigr) + C.
Assim uma primitiva conveniente é
F(x)=\frac{\ln(x)}{x-2} + \frac{1}{2}\ln(x) - \frac{1}{2}\ln|x-2| + C.
Vamos usar F para estudar os limites das integrais improprias nas proximidades de x=2.

Passo 6

Estudo do comportamento de F(x) quando x\to2^\pm.
Primeiro note que \ln(x) é contínua e \ln(2)>0. Para x muito próximo de 2 podemos escrever x=2+h com h\to0. Observe o comportamento dos termos:
  • \dfrac{\ln(x)}{x-2} = \dfrac{\ln(2+h)}{h} tem singularidade do tipo 1/h e domina qualquer singularidade logarítmica quando h\to0.
  • -\dfrac{1}{2}\ln|x-2| = -\dfrac{1}{2}\ln|h| diverge apenas logaritmicamente (mais lentamente que 1/h).
Agora os limites laterais:
  • Para x\to2^- temos h<0 e pequeno, então \dfrac{\ln(2+h)}{h}\approx \dfrac{\ln(2)}{h} com h\to0^- -\infty. O termo -\tfrac{1}{2}\ln|h| tende a +\infty mas mais fracamente; portanto o termo \dfrac{\ln(x)}{x-2} domina e faz F(x)\to -\infty quando x\to2^-.
  • Para x\to2^+ temos h>0 pequeno, então \dfrac{\ln(2+h)}{h}\approx \dfrac{\ln(2)}{h} com h\to0^+ +\infty. O termo -\tfrac{1}{2}\ln h tende a -\infty mais lentamente; assim o termo \dfrac{\ln(x)}{x-2} domina e faz F(x)\to +\infty quando x\to2^+.
Em resumo:
\lim_{x\to2^-}F(x) = -\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}F(x) = +\infty.

Passo 7

Conclusão sobre as integrais parciais e sobre a integral imprópria total.
Calculemos os limites que definem as integrais impróprias usando F. Para a porção esquerda:
\lim_{a\to2^-}\int_{1}^{a}-\frac{\ln(x)}{(x-2)^{2}}\,dx = \lim_{a\to2^-}\bigl(F(a)-F(1)\bigr).
Como \lim_{a\to2^-}F(a)=-\infty e F(1) é finito, esse limite é -\infty. Para a porção direita:
\lim_{b\to2^+}\int_{b}^{4}-\frac{\ln(x)}{(x-2)^{2}}\,dx = \lim_{b\to2^+}\bigl(F(4)-F(b)\bigr).
Como \lim_{b\to2^+}F(b)=+\infty e F(4) é finito, esse limite é -\infty também (porque F(4)-F(b)\to -\infty). Portanto ambas as integrais parciais divergem para menos infinito.
Como pelo menos uma (na verdade ambas) das integrais limitantes não é finita, a integral imprópria original não converge — ela diverge, e de fato tende a -\infty.
(Observação: outra forma de ver a divergência é comparar para x próximos de 2 com -\dfrac{\ln(2)/2}{(x-2)^{2}} usando continuidade de \ln(x); a integral de 1/(x-2)^{2} ao redor de 2 diverge, o que dá o mesmo resultado.)

Resposta

A integral é divergente; mais precisamente, ela tende a -\infty, ou seja, a integral diverge para -\infty.

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