Resolva as integrais indefinidas:
\int 2 \sqrt[3]{x}-\frac{6}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
\int \left(2\sqrt[3]{x}-\frac{6}{\sqrt{x}}\right)\,dx.
Informações dadas e o que se quer:
  • Integrando: 2\sqrt[3]{x}-\dfrac{6}{\sqrt{x}}.
  • Queremos uma primitiv a (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=2\sqrt[3]{x}-\dfrac{6}{\sqrt{x}}.
  • Vamos apresentar a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever as raízes como potências, que facilita usar a regra de potência na integração. Lembrando:
\sqrt[3]{x}=x^{1/3},\qquad \sqrt{x}=x^{1/2}.
Portanto o integrando fica
2\sqrt[3]{x}-\frac{6}{\sqrt{x}} = 2x^{1/3}-6x^{-1/2}.

Passo 3

Lembrete da regra que vou usar (explicando com calma):
  • Regra da linearidade: \displaystyle \int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx, onde a,b são constantes.
  • Regra de potência para integrais: para \displaystyle n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente de x. A fórmula vem de inverter a regra da derivada \dfrac{d}{dx}x^{n+1}=(n+1)x^{n}. Se n=-1 a integral é \ln|x|, mas não precisamos desse caso aqui.

Passo 4

Aplicando a linearidade e a regra de potência ao primeiro termo 2x^{1/3}:
\int 2x^{1/3}\,dx = 2\int x^{1/3}\,dx.
Aqui n=\tfrac{1}{3}, então n+1=\tfrac{4}{3} e
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}x^{4/3}.
Multiplicando pelo 2:
2\cdot\frac{3}{4}x^{4/3}=\frac{3}{2}x^{4/3}.

Passo 5

Agora o segundo termo -6x^{-1/2}:
\int -6x^{-1/2}\,dx = -6\int x^{-1/2}\,dx.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2} e
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Multiplicando pelo -6:
-6\cdot 2x^{1/2} = -12x^{1/2}.

Passo 6

Juntando os resultados dos dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva:
F(x)=\frac{3}{2}x^{4/3}-12x^{1/2}+C.
Opcionalmente, escrevendo com radicais:
F(x)=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^{4}}-12\sqrt{x}+C.

Passo 7

Verificação rápida (bastante útil na prova): derivando F(x) deve retornar o integrando.
Derivando term a term com a regra da potência:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}x^{4/3}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}=2x^{1/3},
\frac{d}{dx}\!\left(-12x^{1/2}\right)=-12\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=-6x^{-1/2}.
Somando: 2x^{1/3}-6x^{-1/2}, que é exatamente o integrando. Verificação OK.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}x^{4/3}-12x^{1/2}+C

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