Calcule as integrais impróprias
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}.
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
  • A função integranda é \dfrac{1}{x^{2}+4}.
  • O intervalo de integração é todo o eixo real, de -\infty a +\infty.
  • A integral é imprópria por causa dos limites infinitos.

Passo 2

Definição e convergência: uma integral sobre (-\infty,\infty) é definida como limite. Uma maneira prática é usar que a função é par (ou seja, mesmo):
\frac{1}{(-x)^{2}+4}=\frac{1}{x^{2}+4},
portanto
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}=2\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}.
Também é útil checar convergência: para x grande, \dfrac{1}{x^{2}+4}\sim \dfrac{1}{x^{2}}, e sabe-se que \int_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{2}} converge (teste p-integral com p=2>1). Logo nossa integral impropria converge e podemos calcular usando antiderivada.

Passo 3

Encontrar a antiderivada de \dfrac{1}{x^{2}+4}. Há uma fórmula padrão:
\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,\qquad a>0.
Vamos derivar rapidamente para fixar: tomar a=2 e fazer a substituição trigonométrica x=2\tan\theta. Então dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e
x^{2}+4=4\tan^{2}\theta+4=4\operatorname{sec}^{2}\theta.
Assim
\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{4\operatorname{sec}^{2}\theta}=\frac{1}{2}\,d\theta.
Integrando dá \theta/2+C. Como \theta=\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right), obtemos
\int\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
(Verificação rápida: derivando \dfrac{1}{2}\arctan(x/2) obtém-se \dfrac{1}{x^{2}+4}.)

Passo 4

Calcular a integral imprópria usando a antiderivada e o fato de paridade. Usando
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}=2\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4},
temos
2\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}=2\lim_{A\to\infty}\left[\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{A}.
Isso simplifica para
\lim_{A\to\infty}\left[\arctan\!\left(\frac{A}{2}\right)-\arctan(0)\right].
Como \arctan(0)=0 e \displaystyle\lim_{u\to\infty}\arctan(u)=\frac{\pi}{2}, obtemos o valor
\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Observação final (fórmula geral útil na prova): para a>0 vale
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{\pi}{a}.
No nosso caso a=2, então o resultado é \dfrac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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