Calcule as integrais impróprias
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é todo o eixo real, de
a . - A integral é imprópria por causa dos limites infinitos.
Passo 2
Definição e convergência: uma integral sobre
é definida como limite. Uma maneira prática é usar que a função é par (ou seja, mesmo):
portanto
Também é útil checar convergência: para
grande,
, e sabe-se que
converge (teste
-integral com
). Logo nossa integral impropria converge e podemos calcular usando antiderivada.
Passo 3
Encontrar a antiderivada de
. Há uma fórmula padrão:
Vamos derivar rapidamente para fixar: tomar
e fazer a substituição trigonométrica
. Então
e
Assim
Integrando dá
. Como
, obtemos
(Verificação rápida: derivando
obtém-se
.)
Passo 4
Calcular a integral imprópria usando a antiderivada e o fato de paridade. Usando
temos
Isso simplifica para
Como
e
, obtemos o valor
Passo 5
Observação final (fórmula geral útil na prova): para
vale
No nosso caso
, então o resultado é
.