Calcule
Passo 1
O enunciado pede claramente o cálculo da integral indefinida
Informações dadas que vamos usar:
- O integrando é uma função racional, i.e., quociente de polinômios: numerador
e denominador . - O grau do numerador é
e o grau do denominador é .
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função racional acima, ou seja uma expressãotal que .
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para integrar uma função racional adequada, o método direto e prático é decompor a fração em frações parciais. Como o grau do numerador (
) é menor que o do denominador (
), a fração é própria e podemos aplicar imediatamente a decomposição em frações parciais.
Regra importante para frações parciais com fatores lineares repetidos:
- Se o denominador contém
e com , a forma geral da decomposição é
onde
são constantes a determinar. Aqui o nosso caso corresponde a
e
.
Passo 3
Aplicar a forma de frações parciais ao nosso integrando. Postulamos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma identidade polinomial:
Essa identidade deve valer para todo
. Uma forma prática de achar
é usar valores convenientes de
que anulem termos:
- Para
: o lado esquerdo vale . No lado direito, só sobrevive o termo com :
- Para
: o lado esquerdo vale . No lado direito, só sobrevive o termo com (pois ):
Agora usando a identidade completa e os valores já encontrados, compare coeficientes para achar
. Expandindo os termos do lado direito antes de comparar ajuda a achar rapidamente
. Expandimos:
Agrupando coeficientes:
- Coeficiente de
: deve ser igual a (pois no lado esquerdo o coeficiente de é ).
Assim
Substituindo
obtemos
Resumo dos coeficientes:
,
,
.
Passo 4
Reescrevendo a integral usando a decomposição encontrada:
Logo
Passo 5
Integrar termo a termo, lembrando e explicando as fórmulas usadas:
-
Fórmula 1 (logaritmo):
. É a clássica primitiva da função . -
Fórmula 2 (potência):
para . No nosso caso, para temos
Aplicando essas fórmulas aos termos:
-
. -
. -
.
Somando as primitivas (e lembrando que a constante de integração será adicionada uma só vez no final) chegamos à primitiva da integral.