Calcule
\int \frac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede claramente o cálculo da integral indefinida
\int \frac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+1)}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • O integrando é uma função racional, i.e., quociente de polinômios: numerador x^{2}+1 e denominador (x-1)^{2}(x+1).
  • O grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 3.
    O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função racional acima, ou seja uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+1)}.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para integrar uma função racional adequada, o método direto e prático é decompor a fração em frações parciais. Como o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), a fração é própria e podemos aplicar imediatamente a decomposição em frações parciais.
Regra importante para frações parciais com fatores lineares repetidos:
  • Se o denominador contém (x-a)^{2} e (x-b) com a\neq b, a forma geral da decomposição é
\frac{\text{numerador}}{(x-a)^{2}(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}+\frac{C}{x-b},
onde A,B,C são constantes a determinar. Aqui o nosso caso corresponde a a=1 e b=-1.

Passo 3

Aplicar a forma de frações parciais ao nosso integrando. Postulamos
\frac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x+1) obtemos uma identidade polinomial:
x^{2}+1 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^{2}.
Essa identidade deve valer para todo x. Uma forma prática de achar A,B,C é usar valores convenientes de x que anulem termos:
  • Para x=1: o lado esquerdo vale 1^{2}+1=2. No lado direito, só sobrevive o termo com B:
2 = B(1+1) \implies 2 = 2B \implies B=1.
  • Para x=-1: o lado esquerdo vale (-1)^{2}+1=2. No lado direito, só sobrevive o termo com C (pois (x-1)^{2}=(-2)^{2}=4):
2 = C(-1-1)^{2} = C\cdot 4 \implies C=\tfrac{1}{2}.
Agora usando a identidade completa e os valores já encontrados, compare coeficientes para achar A. Expandindo os termos do lado direito antes de comparar ajuda a achar rapidamente A. Expandimos:
A(x^{2}-1) + B(x+1) + C(x^{2}-2x+1).
Agrupando coeficientes:
  • Coeficiente de x^{2}: A+C deve ser igual a 1 (pois no lado esquerdo o coeficiente de x^{2} é 1).
    Assim
A + C = 1.
Substituindo C=\tfrac{1}{2} obtemos
A + \tfrac{1}{2} = 1 \implies A = \tfrac{1}{2}.
Resumo dos coeficientes: A=\tfrac{1}{2}, B=1, C=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Reescrevendo a integral usando a decomposição encontrada:
\frac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}.
Logo
\int \frac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+1)}\,dx = \int \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\right)dx.

Passo 5

Integrar termo a termo, lembrando e explicando as fórmulas usadas:
  • Fórmula 1 (logaritmo): \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. É a clássica primitiva da função 1/(x-a).
  • Fórmula 2 (potência): \displaystyle \int (x-a)^{n}\,dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1} + C para n\neq -1. No nosso caso, para n=-2 temos
\int (x-a)^{-2}\,dx = \frac{(x-a)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x-a}+C.
Aplicando essas fórmulas aos termos:
  • \displaystyle \int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x-1|.
  • \displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x-1}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x+1|.
Somando as primitivas (e lembrando que a constante de integração será adicionada uma só vez no final) chegamos à primitiva da integral.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl|x-1\bigr|-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\ln\bigl|x+1\bigr|+C

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