Calcule as integrais impróprias
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, o problema é impróprio por causa do limite superior infinito. - Não há singularidade no ponto
(porque ). A única “impropriedade” é o infinito no limite superior. - O que se espera: interpretar a integral como um limite improprio e avaliar esse limite.
Passo 2
Traduzir a integral imprópria como um limite. Por definição,
Explicação rápida: para integrais com intervalo infinito, calcula-se a integral até um ponto finito
e depois faz-se
.
Passo 3
Fazer a substituição que simplifica o integrando. Tome
Então
. As variáveis-limite mudam assim:
- quando
, ; - quando
, .
Aplicando a substituição na integral dentro do limite,
Aqui usei explicitamente que peguei
e
.
Passo 4
Calcular a primitiva de
. Lembrete da regra de potência para integrais: para
,
No nosso caso
, então
Portanto
Passo 5
Agora voltamos ao limite impróprio e avaliamos-o:
Como
quando
, tem-se
. Assim o limite vale
Passo 6
Conclusão e comentário didático final: a integral imprópria converge e seu valor é
.
Comentário adicional útil para a prova: no geral,
com
converge se, e somente se,
. A razão é a mesma substituição
, que transforma a integral em
, que converge exatamente quando
.