Calcule as integrais impróprias
\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x \ln ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\ln^{2}x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é \dfrac{1}{x\ln^{2}x}.
  • O intervalo de integração é [2,\infty), ou seja, o problema é impróprio por causa do limite superior infinito.
  • Não há singularidade no ponto x=2 (porque \ln 2\neq0). A única “impropriedade” é o infinito no limite superior.
  • O que se espera: interpretar a integral como um limite improprio e avaliar esse limite.

Passo 2

Traduzir a integral imprópria como um limite. Por definição,
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\ln^{2}x} = \lim_{b\to\infty} \int_{2}^{b} \frac{dx}{x\ln^{2}x}.
Explicação rápida: para integrais com intervalo infinito, calcula-se a integral até um ponto finito b e depois faz-se b\to\infty.

Passo 3

Fazer a substituição que simplifica o integrando. Tome
u=\ln x.
Então du=\dfrac{dx}{x}. As variáveis-limite mudam assim:
  • quando x=2, u=\ln 2;
  • quando x=b, u=\ln b.
Aplicando a substituição na integral dentro do limite,
\int_{2}^{b} \frac{dx}{x\ln^{2}x} = \int_{\ln 2}^{\ln b} \frac{du}{u^{2}}.
Aqui usei explicitamente que peguei u=\ln x e du=dx/x.

Passo 4

Calcular a primitiva de u^{-2}. Lembrete da regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u}+C.
Portanto
\int_{\ln 2}^{\ln b} \frac{du}{u^{2}} = \left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln 2}^{\ln b} = -\frac{1}{\ln b} + \frac{1}{\ln 2}.

Passo 5

Agora voltamos ao limite impróprio e avaliamos-o:
\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{\ln b} + \frac{1}{\ln 2}\right).
Como \ln b \to \infty quando b\to\infty, tem-se \dfrac{1}{\ln b}\to 0. Assim o limite vale
0 + \frac{1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}.

Passo 6

Conclusão e comentário didático final: a integral imprópria converge e seu valor é \dfrac{1}{\ln 2}.
Comentário adicional útil para a prova: no geral,
\int_{a}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{p}}
com a>1 converge se, e somente se, p>1. A razão é a mesma substituição u=\ln x, que transforma a integral em \int_{\ln a}^{\infty} u^{-p}du, que converge exatamente quando p>1.

Resposta

\dfrac{1}{\ln 2}

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