Calcule
\int \frac{x^{4}-x^{3}-x-1}{x^{3}-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{4}-x^{3}-x-1}{x^{3}-x^{2}}\,dx.
Informações dadas (aproveitei a expressão do enunciado):
  • A função a integrar é a razão de dois polinômios: numerador x^{4}-x^{3}-x-1 e denominador x^{3}-x^{2}.
  • Observação óbvia que será útil: o denominador pode ser fatorado como x^{2}(x-1), ou seja, há fator x em potência e fator linear x-1.
    O objetivo final é apresentar uma primitiva (a integral indefinida) desta função, adicionando a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a integranda fazendo divisão de polinômios se necessário, porque o grau do numerador ( 4) é maior ou igual ao do denominador ( 3). Fazer a divisão torna a integral em soma de um polinômio mais uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Realizo a divisão:
dividindo x^{4}-x^{3}-x-1 por x^{3}-x^{2}.
O termo dominante: \dfrac{x^{4}}{x^{3}}=x. Multiplicando o divisor por x:
x\cdot(x^{3}-x^{2})=x^{4}-x^{3}.
Subtraindo do numerador:
(x^{4}-x^{3}-x-1)-(x^{4}-x^{3}) = -x-1.
Portanto
\frac{x^{4}-x^{3}-x-1}{x^{3}-x^{2}} = x + \frac{-x-1}{x^{3}-x^{2}}.
Reescrevendo o resto com o fator do denominador:
\frac{-x-1}{x^{3}-x^{2}} = -\frac{x+1}{x^{2}(x-1)}.
Logo a integranda fica
\frac{x^{4}-x^{3}-x-1}{x^{3}-x^{2}} = x - \frac{x+1}{x^{2}(x-1)}.

Passo 3

Agora precisamos decompor a fração própria \dfrac{x+1}{x^{2}(x-1)} em frações parciais, para integrar facilmente termo a termo.
Proponho a forma
\frac{x+1}{x^{2}(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x-1},
onde A,B,C são constantes a determinar.
Multiplico os dois lados por x^{2}(x-1) para eliminar denominadores:
x+1 = A\cdot x(x-1) + B\cdot (x-1) + C\cdot x^{2}.
Expando o lado direito:
x+1 = A(x^{2}-x) + Bx - B + Cx^{2} = (A+C)x^{2} + (-A+B)x - B.
Agora igualo coeficientes dos polinômios (compare com 0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 1):
  • Coeficiente de x^{2}: A + C = 0.
  • Coeficiente de x: -A + B = 1.
  • Termo constante: -B = 1.
Da última equação vem B=-1.
Substituindo em -A+B=1: -A-1=1 \Rightarrow -A=2 \Rightarrow A=-2.
Da primeira equação A+C=0 obtemos C=-A=2.
Portanto
\frac{x+1}{x^{2}(x-1)} = -\frac{2}{x} -\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x-1}.

Passo 4

Lembrando que na integranda temos um sinal negativo antes dessa fração (veja Passo 2), substituímos a decomposição:
\frac{x^{4}-x^{3}-x-1}{x^{3}-x^{2}} = x - \frac{x+1}{x^{2}(x-1)} = x -\Big(-\frac{2}{x} -\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x-1}\Big).
Distribuindo o sinal:
\frac{x^{4}-x^{3}-x-1}{x^{3}-x^{2}} = x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x-1}.
Agora a integral se torna soma de integrais simples:
\int \frac{x^{4}-x^{3}-x-1}{x^{3}-x^{2}}\,dx = \int x\,dx + \int \frac{2}{x}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}}\,dx - \int \frac{2}{x-1}\,dx.

Passo 5

Integro termo a termo, lembrando as regras básicas:
  • Regra da potência: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C para n\neq-1.
  • Regra do logaritmo: \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • Para \int \dfrac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C (mesma ideia do log, com valor absoluto).
Aplicando:
  1. \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  2. \displaystyle \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|.
  3. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
  4. \displaystyle \int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln|x-1|.
Lembre de colocar o sinal certo do quarto termo (veja soma dos integrais).

Passo 6

Juntando os resultados e somando a constante de integração C:
\int \frac{x^{4}-x^{3}-x-1}{x^{3}-x^{2}}\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 2\ln|x| - \frac{1}{x} - 2\ln|x-1| + C.
Como forma alternativa, os logaritmos podem ser combinados:
2\ln|x| - 2\ln|x-1| = 2\ln\!\left|\frac{x}{x-1}\right|,
mas ambas as formas estão corretas.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2} + 2\ln|x| - \frac{1}{x} - 2\ln|x-1| + C

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