Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas (aproveitei a expressão do enunciado):
- A função a integrar é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - Observação óbvia que será útil: o denominador pode ser fatorado como
, ou seja, há fator em potência e fator linear .
O objetivo final é apresentar uma primitiva (a integral indefinida) desta função, adicionando a constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a integranda fazendo divisão de polinômios se necessário, porque o grau do numerador (
) é maior ou igual ao do denominador (
). Fazer a divisão torna a integral em soma de um polinômio mais uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador).
Realizo a divisão:
dividindo por
.
dividindo
O termo dominante:
. Multiplicando o divisor por
:
Subtraindo do numerador:
Portanto
Reescrevendo o resto com o fator do denominador:
Logo a integranda fica
Passo 3
Agora precisamos decompor a fração própria
em frações parciais, para integrar facilmente termo a termo.
Proponho a forma
onde
são constantes a determinar.
Multiplico os dois lados por
para eliminar denominadores:
Expando o lado direito:
Agora igualo coeficientes dos polinômios (compare com
):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Da última equação vem
.
Substituindo em :
.
Da primeira equação obtemos
.
Substituindo em
Da primeira equação
Portanto
Passo 4
Lembrando que na integranda temos um sinal negativo antes dessa fração (veja Passo 2), substituímos a decomposição:
Distribuindo o sinal:
Agora a integral se torna soma de integrais simples:
Passo 5
Integro termo a termo, lembrando as regras básicas:
- Regra da potência:
para . - Regra do logaritmo:
. - Para
(mesma ideia do log, com valor absoluto).
Aplicando:
Lembre de colocar o sinal certo do quarto termo (veja soma dos integrais).
Passo 6
Juntando os resultados e somando a constante de integração
:
Como forma alternativa, os logaritmos podem ser combinados:
mas ambas as formas estão corretas.