1. Considere f:[0,5] \rightarrow R, dada por f(x)=e^{x}. Determine a área delimitada pelo gráfico de f e o eixo x, no intervalo de [0,5] . \mathrm{R}: e^{5}-1

Passo 1

O enunciado dá a função f:[0,5]\to\mathbb{R} definida por f(x)=e^{x} e pede: determinar a área delimitada pelo gráfico de f e o eixo x no intervalo [0,5].
Informações relevantes fornecidas:
  • Função: f(x)=e^{x}.
  • Intervalo: [0,5].
  • Pedido: área sob o gráfico de f e acima do eixo x entre x=0 e x=5.

Passo 2

O que significa "área delimitada pelo gráfico e o eixo x"?
Quando temos uma função não negativa num intervalo [a,b], a área pedida é o valor da integral definida
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Essa integral calcula a soma (no sentido do limite de somas de retângulos) das alturas f(x) vezes pequenos larguras dx ao longo do intervalo. No nosso caso, a área A é
A=\int_{0}^{5} e^{x}\,dx.

Passo 3

Como calcular a integral definida? Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f (isto é, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Portanto precisamos encontrar uma primitiva de f(x)=e^{x}.

Passo 4

Qual é uma primitiva de e^{x}? Lembre que a derivada de e^{x} é e^{x} novamente. Ou seja, se definirmos F(x)=e^{x}, então F'(x)=e^{x}=f(x). Logo F(x)=e^{x} é uma primitiva de f.
Explicação curta e intuitiva: a função exponencial é especial porque ela é igual à própria derivada; por isso a antiderivada é a própria função (mais uma constante, que se anula na integral definida).

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com F(x)=e^{x}, obtemos
\int_{0}^{5} e^{x}\,dx = F(5)-F(0) = e^{5}-e^{0}.
E como e^{0}=1, isso simplifica para
\int_{0}^{5} e^{x}\,dx = e^{5}-1.

Passo 6

Interpretação final e dica prática: a área pedida cresce muito porque e^{x} cresce rapidamente; se quiser uma ideia numérica aproximada, e^{5}\approx148{,}413, então a área é aproximadamente 147{,}413. Isso pode te ajudar a checar se um resultado estranho aparecer na prova.
Força aí — esse tipo de integral costuma cair direto: reconhecer que a primitiva de e^{x} é e^{x} e aplicar os limites.

Resposta

e^{5}-1

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