- Considere
, dada por
. Determine a área delimitada pelo gráfico de
e o eixo
, no intervalo de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede: determinar a área delimitada pelo gráfico de
e o eixo
no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
- Função:
. - Intervalo:
. - Pedido: área sob o gráfico de
e acima do eixo entre e .
Passo 2
O que significa "área delimitada pelo gráfico e o eixo
"?
Quando temos uma função não negativa num intervalo , a área pedida é o valor da integral definida
Quando temos uma função não negativa num intervalo
Essa integral calcula a soma (no sentido do limite de somas de retângulos) das alturas
vezes pequenos larguras
ao longo do intervalo. No nosso caso, a área
é
Passo 3
Como calcular a integral definida? Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva de
(isto é,
), então
Portanto precisamos encontrar uma primitiva de
.
Passo 4
Qual é uma primitiva de
? Lembre que a derivada de
é
novamente. Ou seja, se definirmos
, então
. Logo
é uma primitiva de
.
Explicação curta e intuitiva: a função exponencial é especial porque ela é igual à própria derivada; por isso a antiderivada é a própria função (mais uma constante, que se anula na integral definida).
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com
, obtemos
E como
, isso simplifica para
Passo 6
Interpretação final e dica prática: a área pedida cresce muito porque
cresce rapidamente; se quiser uma ideia numérica aproximada,
, então a área é aproximadamente
. Isso pode te ajudar a checar se um resultado estranho aparecer na prova.
Força aí — esse tipo de integral costuma cair direto: reconhecer que a primitiva de
é
e aplicar os limites.