Calcule as integrais impróprias
\int_{-\infty}^{0} 3 e^{4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{-\infty}^{0} 3 e^{4x}\,dx.
Informações dadas: a integranda é \,3 e^{4x}\, e os limites de integração vão de -\infty até 0.
Observação importante: a integral é imprópria porque o limite inferior é -\infty.

Passo 2

Como lidamos com integral imprópria com limite infinito? Transformamos em um limite de integrais próprias. Escrevemos
\int_{-\infty}^{0} 3 e^{4x}\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0} 3 e^{4x}\,dx.
Essa é a definição prática: calcule a integral de a até 0 e depois faça a tender a -\infty.

Passo 3

Precisamos da primitiva (antiderivada) de \,3 e^{4x}\,. Lembrete rápido: a derivada de \,e^{4x}\, é \,4 e^{4x}\,, portanto uma primitiva de \,e^{4x}\, é \,\frac{1}{4}e^{4x}\,. Multiplicando pelo constante 3 obtemos a primitiva procurada:
\text{Primitiva de }3 e^{4x} \text{ é } \frac{3}{4} e^{4x}.é
Explicando devagar: se F(x)=\frac{3}{4}e^{4x} então F'(x)=\frac{3}{4}\cdot 4 e^{4x}=3 e^{4x}, conferindo.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida de a até 0 usando a primitiva:
\int_{a}^{0} 3 e^{4x}\,dx = \left.\frac{3}{4} e^{4x}\right|_{x=a}^{x=0} = \frac{3}{4}\bigl(e^{4\cdot 0}-e^{4a}\bigr)=\frac{3}{4}\bigl(1-e^{4a}\bigr).

Passo 5

Tomamos o limite quando a\to -\infty. Para 4>0 vale que \lim_{a\to -\infty} e^{4a}=0, porque o expoente 4a tende a -\infty e a exponencial de um número muito negativo fica muito próxima de zero. Logo
\lim_{a\to -\infty}\frac{3}{4}\bigl(1-e^{4a}\bigr)=\frac{3}{4}\bigl(1-0\bigr)=\frac{3}{4}.

Passo 6

Concluímos que a integral imprópria converge e o seu valor é \frac{3}{4}. Mandou bem por encarar a integral — já era meio caminho andado!

Resposta

\dfrac{3}{4}

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