Calcule as integrais impróprias \int_{-\infty}^{0} 3 e^{4 x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{-\infty}^{0} 3 e^{4x}\,dx.
Informações dadas: a integranda é \,3 e^{4x}\, e os limites de integração vão de -\infty até 0.
Observação importante: a integral é imprópria porque o limite inferior é -\infty.
Passo 2
Como lidamos com integral imprópria com limite infinito? Transformamos em um limite de integrais próprias. Escrevemos
Essa é a definição prática: calcule a integral de a até 0 e depois faça a tender a -\infty.
Passo 3
Precisamos da primitiva (antiderivada) de \,3 e^{4x}\,. Lembrete rápido: a derivada de \,e^{4x}\, é \,4 e^{4x}\,, portanto uma primitiva de \,e^{4x}\, é \,\frac{1}{4}e^{4x}\,. Multiplicando pelo constante 3 obtemos a primitiva procurada:
\text{Primitiva de }3 e^{4x} \text{ é } \frac{3}{4} e^{4x}.
Explicando devagar: se F(x)=\frac{3}{4}e^{4x} então F'(x)=\frac{3}{4}\cdot 4 e^{4x}=3 e^{4x}, conferindo.
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida de a até 0 usando a primitiva:
Tomamos o limite quando a\to -\infty. Para 4>0 vale que \lim_{a\to -\infty} e^{4a}=0, porque o expoente 4a tende a -\infty e a exponencial de um número muito negativo fica muito próxima de zero. Logo