Calcules as integraio
\int_{-1}^{1}(x+1)\left(x^{2}+2 x+5\right)^{12} d x

Passo 1

Temos que calcular a integral definida
\int_{-1}^{1}(x+1)\left(x^{2}+2x+5\right)^{12}\,dx.
Informações dadas:
\,x varia de -1 até 1.
O integrando é (x+1) multiplicado por \left(x^{2}+2x+5\right)^{12}.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definitiva.

Passo 2

Vamos primeiro escrever de forma mais conveniente o polinômio dentro da potência. Observe que
x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2}+4.
Isso vem de expandir (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1 e somar 4. Então o integrando pode ser reescrito como
(x+1)\bigl((x+1)^{2}+4\bigr)^{12}.

Passo 3

Para simplificar a integral, faz sentido definir uma nova variável que torne a potência mais simples. Defina
t = x+1.
Explanação didática: essa substituição é natural porque o integrando já contém x+1 e (x+1)^{2}. Com essa mudança, as expressões ficam em termos de t de forma direta. Como t=x+1, temos dt = dx (pois a derivada de x+1 em relação a x é 1). Agora ajustamos os limites: quando x=-1 temos t=0; quando x=1 temos t=2.

Passo 4

Reescrevendo a integral em t:
\int_{-1}^{1}(x+1)\bigl((x+1)^{2}+4\bigr)^{12}\,dx = \int_{t=0}^{t=2} t\bigl(t^{2}+4\bigr)^{12}\,dt.
Agora observe que a parte t\bigl(t^{2}+4\bigr)^{12} sugere outra substituição do tipo u=t^{2}+4, porque a derivada de t^{2}+4 é 2t, e isso aparece multiplicando.

Passo 5

Faça a substituição
u = t^{2}+4.
Então a diferencial é
du = 2t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt = \frac{1}{2}\,du.
Mudança de limites: para t=0 temos u=0^{2}+4=4; para t=2 temos u=2^{2}+4=8.

Passo 6

Substituindo na integral:
\int_{t=0}^{t=2} t\bigl(t^{2}+4\bigr)^{12}\,dt = \int_{u=4}^{u=8} \bigl(u\bigr)^{12}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{4}^{8} u^{12}\,du.
Aqui usei que t\,dt=\frac{1}{2}\,du e que (t^{2}+4)^{12}=u^{12}.

Passo 7

Agora integramos u^{12}. Fórmula básica que usamos: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando com n=12:
\int u^{12}\,du = \frac{u^{13}}{13}.
Portanto
\frac{1}{2}\int_{4}^{8} u^{12}\,du = \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{u^{13}}{13}\right]_{4}^{8} = \frac{1}{26}\left(8^{13}-4^{13}\right).

Passo 8

Vamos simplificar a expressão final. Note que 8=2^{3} e 4=2^{2}, então
8^{13} = (2^{3})^{13} = 2^{39}, \qquad 4^{13} = (2^{2})^{13} = 2^{26}.
Substituindo:
\frac{1}{26}\left(8^{13}-4^{13}\right) = \frac{1}{26}\left(2^{39}-2^{26}\right).
Fatorando 2^{26}:
\frac{1}{26}\cdot 2^{26}\left(2^{13}-1\right).
Como 26=2\cdot 13, podemos simplificar um fator 2:
\frac{2^{26}}{26}=\frac{2^{25}}{13}.
Logo o resultado final fica
\frac{2^{25}}{13}\left(2^{13}-1\right).
Opcionalmente, 2^{13}=8192, então 2^{13}-1=8191, e podemos escrever
\frac{2^{25}\cdot 8191}{13}.

Resposta

\displaystyle \frac{2^{25}\,\bigl(2^{13}-1\bigr)}{13}

Exercícios relacionados