Calcules as integraio
Passo 1
Temos que calcular a integral definida
Informações dadas:
varia de
até
.
O integrando é multiplicado por
.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definitiva.
O integrando é
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definitiva.
Passo 2
Vamos primeiro escrever de forma mais conveniente o polinômio dentro da potência. Observe que
Isso vem de expandir
e somar
. Então o integrando pode ser reescrito como
Passo 3
Para simplificar a integral, faz sentido definir uma nova variável que torne a potência mais simples. Defina
Explanação didática: essa substituição é natural porque o integrando já contém
e
. Com essa mudança, as expressões ficam em termos de
de forma direta. Como
, temos
(pois a derivada de
em relação a
é
). Agora ajustamos os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 4
Reescrevendo a integral em
:
Agora observe que a parte
sugere outra substituição do tipo
, porque a derivada de
é
, e isso aparece multiplicando.
Passo 5
Faça a substituição
Então a diferencial é
Mudança de limites: para
temos
; para
temos
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Aqui usei que
e que
.
Passo 7
Agora integramos
. Fórmula básica que usamos: para
,
Aplicando com
:
Portanto
Passo 8
Vamos simplificar a expressão final. Note que
e
, então
Substituindo:
Fatorando
:
Como
, podemos simplificar um fator
:
Logo o resultado final fica
Opcionalmente,
, então
, e podemos escrever