Calcule as integrais impróprias.
integral0^1 x+1raizx^2+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^1x+1raizx^2+2x,dx
Observamos que em x=0 o denominador raizx^2+2x=raiz0 zera, tornando a integral imprópria no limite inferior. Vamos encontrar uma primitiva e depois verificar o comportamento em xto0^+.

Passo 2

Procuramos uma função cuja derivada seja x+1raizx^2+2x. Note que, para
u(x)=raizx^2+2x,
temos
ddxu(x) = 12raizx^2+2xcdot 2(x+1) = x+1raizx^2+2x
Logo, uma primitiva de x+1raizx^2+2x é u(x)=raizx^2+2x.

Passo 3

Usando essa primitiva, a integral definida torna-se
integral0^1x+1raizx^2+2x,dx = limato0^+l[raizx^2+2xr]x=a^x=1 = limato0^+l(raiz1^2+2cdot1-raiza^2+2ar)

Passo 4

Ao fazermos ato0^+, temos raiza^2+2ato0. Portanto
integral0^1x+1raizx^2+2x,dx = raiz3-0 = raiz3

Resposta

raiz3

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