Calcule as integrais impróprias:
integral1^2 d x(x-1)^1 / 3

Passo 1

A questão pede para calcular a integral imprópria integral1^2 (x-1)^-1/3,dx. Esse tipo de integral é imprópria porque o integrando fica não limitado em x=1. Vamos usar a definição de integral imprópria e a substituição para resolver.

Passo 2

Transformamos a integral num limite:

Passo 3

Em seguida, fazemos a mudança de variável u = x-1. Com u = x-1, quando x=1+a temos u=a e quando x=2 temos u=1. Assim a integral vira

Passo 4

Para integrar u^-1/3, aplicamos a regra de potência:

Aqui nintegral u^k,du = u^k+1k+1, kneq -1, então k=-tfrac13 e o antiderivado é

Passo 5

Avaliando de u=a até u=1 obtemos

Passo 6

Agora basta tomar o limite ato0^+. Como a^2/3to 0, o resultado converge para tfrac32. Isso confere com o critério de convergência de potências em singularidade do tipo u^-p com p<1.

Resposta

tfrac32

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