Lembre que
é a distância entre os pontos
e
e dê um argumento geométrico para mostrar que
representa a reta pela origem de inclinação -1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte questão: mostrar, usando um argumento geométrico, que a equação $ |z - 1| = |z + i| $ representa uma reta que passa pela origem com inclinação -1.
Aqui estamos lidando com números complexos e geometria no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que representa a distância entre dois números complexos e como isso se relaciona com a reta que queremos encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo $ z $ pode ser escrito como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária.
A distância entre dois pontos $ z_1 $ e $ z_2 $ no plano complexo é dada por $ |z_1 - z_2| $. Isso é similar à fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa equação $ |z - 1| = |z + i| $. Aqui, temos:
- $ z_1 = 1 $ (que no plano complexo é o ponto $ (1, 0) $)
- $ z_2 = -i $ (que no plano complexo é o ponto $ (0, -1) $)
Então, a equação está dizendo que a distância do ponto $ z $ até $ (1, 0) $ é igual à distância do ponto $ z $ até $ (0, -1) $.
Passo 4
Geometricamente, o conjunto de pontos que estão a igual distância de dois pontos fixos é a mediatriz do segmento que liga esses dois pontos.
A mediatriz é uma reta perpendicular ao segmento que une os dois pontos e que passa pelo ponto médio desse segmento.
Passo 5
Vamos encontrar o ponto médio entre $ (1, 0) $ e $ (0, -1) $:
Passo 6
Agora, vamos determinar a inclinação da reta que une $ (1, 0) $ e $ (0, -1) $:
A mediatriz será perpendicular a essa reta, então sua inclinação será o negativo do inverso:
Passo 7
Portanto, a equação $ |z - 1| = |z + i| $ representa a mediatriz do segmento que liga os pontos $ (1, 0) $ e $ (0, -1) $, que é uma reta com inclinação -1 e que passa pela origem.
Resposta
A equação $ |z - 1| = |z + i| $ representa a reta que passa pela origem com inclinação -1.