(b) Calcule a integral do ítem anterior.
integralgamma(6 x y^2-y^3) d x+(6 x^2 y-3 x y^2) d y, onde gamma vai do ponto (1,2) até (3,4).

Passo 1

Nesse exercício, a missão é calcular a integral de linha
integralgamma(6xy^2 - y^3),dx + (6x^2y - 3xy^2),dy
sendo que o caminho gamma vai de (1,2) até (3,4). O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar usar a ideia de campo conservativo e função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o campo vetorial
M(x,y)=6xy^2 - y^3,
N(x,y)=6x^2y - 3xy^2
é conservativo. A condição de conservatividade num domínio simples é
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando, temos
partial Mpartial y=12xy - 3y^2,
partial Npartial x=12xy - 3y^2,
que são iguais. Logo, o campo é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, existe função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M(x,y)
Integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral(6xy^2 - y^3),dx = 3x^2y^2 - xy^3 + h(y),
onde h(y) é função apenas de y. Para determinar h(y), usamos
partial Fpartial y = 6x^2y - 3xy^2 + h'(y)
e igualamos a N(x,y):
6x^2y - 3xy^2 + h'(y) = 6x^2y - 3xy^2
Logo h'(y)=0, isto é, h(y) é constante e podemos ignorá-la.

Passo 4

Por fim, a integral de linha é a variação da função potencial entre os pontos finais. Ou seja,
integralgamma = F(3,4) - F(1,2)
Calculando cada valor:
F(3,4)=3cdot3^2cdot4^2 - 3cdot4^3 = 3cdot9cdot16 - 3cdot64 = 432 - 192 = 240,
F(1,2)=3cdot1^2cdot2^2 - 1cdot2^3 = 3cdot4 - 8 = 12 - 8 = 4

Passo 5

Portanto, a integral vale a diferença
240 - 4 = 236

Resposta

236

Exercícios relacionados