Encontre a solução geral de:
y^prime prime+y^prime+5 y=0

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem, homogênea e com coeficientes constantes: y’’+y’+5y=0. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Substituímos y=e^{rt} (onde t é a variável independente) na EDO. Isso leva à equação característica
r^2 + r + 5 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação: De. Como De, as raízes são complexas:
r = -1 pm iraiz192

Passo 4

Para raízes complexas alpha pm ibeta, a solução geral é
y(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t)+C2sin(beta t)r). Aqui alpha=-tfrac12 e beta=tfracraiz192, então montamos a solução geral.

Resposta

y(t)=e^-t/2l(C1cosl(tfracraiz192tr)+C2sinl(tfracraiz192tr)r)

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