Calcule as integrais impróprias.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo é integral imprópria e vamos precisar de decomposição em frações parciais e, em seguida, avaliar o limite quando o limite superior tende a infinito.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador
e expressamos o integrando como soma de frações simples. Ou seja, queremos
.
Para encontrar e
, escrevemos
Para encontrar
Passo 3
Igualando coeficientes, temos
Passo 4
Logo
e
. Assim
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
Passo 6
Definimos a integral imprópria como limite
Passo 7
Calculando o termo em
:
Passo 8
E no limite inferior
:
Passo 9
Subtraindo, obtemos
Passo 10
Portanto, a integral converge e seu valor é
.
Resposta
2\ln2