Calcule as integrais impróprias.
integral2^infty 2 d xx^2-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral2^infty2,dxx^2-x. O conteúdo é integral imprópria e vamos precisar de decomposição em frações parciais e, em seguida, avaliar o limite quando o limite superior tende a infinito.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^2-x=x(x-1) e expressamos o integrando como soma de frações simples. Ou seja, queremos 2x(x-1)=Ax+Bx-1.
Para encontrar A e B, escrevemos
2 = A(x-1)+Bx = (A+B)x - A

Passo 3

Igualando coeficientes, temos
A+B=0, -A=2

Passo 4

Logo A=-2 e B=2. Assim
2x(x-1) = -2x + 2x-1

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integrall(-2x + 2x-1r)dx = -2ln|x| + 2ln|x-1| + C

Passo 6

Definimos a integral imprópria como limite
I = limTtoinftyintegral2^T2x^2-xdx = limTtoinftyl[-2ln|x| + 2ln|x-1|r]2^T

Passo 7

Calculando o termo em T:
-2ln T + 2ln(T-1) = 2lnl(T-1Tr) longrightarrow 2ln(1)=0 (quando Ttoinfty)

Passo 8

E no limite inferior x=2:
-2ln2 + 2ln1 = -2ln2

Passo 9

Subtraindo, obtemos
I = 0 - (-2ln2) = 2ln2

Passo 10

Portanto, a integral converge e seu valor é 2ln2.

Resposta

2\ln2

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