Determine a área da superfície de revolução gerada pelas funções abaixo, em torno do eixo x.
Passo 1
Temos a curva y = 2\sqrt{4 - x}, definida para 0 \le x \le 15/4, e queremos calcular a área de superfície gerada ao girá-la em torno do eixo x. Esse é um problema de área de superfície de revolução, para o qual vamos usar a fórmula
portanto precisamos de y e de y’.
Passo 2
Derivando y em relação a x, escrevendo y = 2(4 - x)^{1/2}, temos
Passo 3
Substituímos y e y’ na fórmula de superfície. Primeiro calculamos
Logo,
Passo 4
Simplificando o integrando, observe que
Então
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição u = 5 - x, du = -dx. Assim,
Aplicando os limites de 0 a 15/4 obtemos
Passo 6
Avaliar nos limites:
Então