Determine a área da superfície de revolução gerada pelas funções abaixo, em torno do eixo x.
y=2 raiz4-x, 0 <= x <= 154

Passo 1

Temos a curva y = 2\sqrt{4 - x}, definida para 0 \le x \le 15/4, e queremos calcular a área de superfície gerada ao girá-la em torno do eixo x. Esse é um problema de área de superfície de revolução, para o qual vamos usar a fórmula
S = 2pi integrala^b y,raiz1 + (y')^2,dx
portanto precisamos de y e de y’.

Passo 2

Derivando y em relação a x, escrevendo y = 2(4 - x)^{1/2}, temos
y' = 2 cdot 12 (4 - x)^-1/2 cdot (-1) = -1raiz4 - x

Passo 3

Substituímos y e y’ na fórmula de superfície. Primeiro calculamos
1 + (y')^2 = 1 + 14 - x = (4 - x) + 14 - x = 5 - x4 - x
Logo,
S = 2pi integral0^15/4 2raiz4 - x,raiz5 - x4 - x,dx

Passo 4

Simplificando o integrando, observe que
2raiz4 - x,raiz5 - x4 - x = 2raiz5 - x
Então
S = 4pi integral0^15/4 raiz5 - x,dx

Passo 5

Para calcular integral raiz5 - x,dx fazemos a substituição u = 5 - x, du = -dx. Assim,
integral raiz5 - x,dx = -integral u^1/2,du = -23u^3/2 = -23(5 - x)^3/2
Aplicando os limites de 0 a 15/4 obtemos
S = 4pi l[-tfrac23(5 - x)^3/2r]0^15/4

Passo 6

Avaliar nos limites:
5 - tfrac154 = tfrac54,(5 - 0)^3/2 = 5^3/2
Então
S = 4pi l(-tfrac23(tfrac54)^3/2 + tfrac23,5^3/2r) = 35piraiz53

Resposta

35raiz5,pi3

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