Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados.
integral-infty^0 r e^r d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^0 r,e^r,dr
que é um caso de integral em intervalo ilimitado. Vamos usar a técnica de integração por partes para encontrar uma antiderivada de r,e^r.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo u = r e dv = e^r,dr. Então
du = dr, v = integral e^r,dr = e^r
Substituindo, obtemos a antiderivada
integral r,e^r,dr = r,e^r - integral e^r,dr = r,e^r - e^r = e^r(r - 1) + C

Passo 3

Agora escrevemos a integral definida como limite:
integral-infty^0 r,e^r,dr = limato -infty [ e^r(r - 1) ]r=a^r=0
Avaliaremos em r=0 e depois o limite quando rto -infty.

Passo 4

Em r=0 temos
e^0(0 - 1) = -1
Quando rto -infty, o termo
e^r(r - 1)
vai a zero, pois e^r decai mais rápido que r cresce em módulo. Logo
limrto -infty e^r(r - 1) = 0

Passo 5

Subtraindo os valores nos limites:
integral-infty^0 r,e^r,dr = l(-1r) - 0 = -1

Resposta

-1

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