Seja uma função e um ponto do gráfico de . A reta que passa pelo ponto ( ) e é perpendicular à reta tangente denomina-se reta normal ao gráfico de em .
Determine as equações das retas tangente e normal à curva no ponto
Passo 1
O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida implicitamente por
no ponto . Para isso vamos usar diferenciação implícita para encontrar , que dá o coeficiente angular da tangente, e então obter o da normal como negativo do recíproco.
Passo 2
Aplicando a diferenciação implícita em
temos
onde .
Passo 3
Agrupando os termos que contêm e isolando , obtemos
Passo 4
No ponto substituímos e :
Logo o coeficiente angular da reta tangente é -tfrac37.
Passo 5
A equação da reta tangente em forma ponto-declive é
y - 1 = -37,(x - 1)
Passo 6
O coeficiente angular da reta normal é o negativo do recíproco de -tfrac37, ou seja, tfrac73. Assim a normal é