Seja f(x) uma função e (p, f(p)) um ponto do gráfico de f. A reta que passa pelo ponto ( p, f(p) ) e é perpendicular à reta tangente denomina-se reta normal ao gráfico de f em (p, f(p)).
Determine as equações das retas tangente e normal à curva y^3+2 x y^2+x-4=0 no ponto (1,1)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida implicitamente por
y^3 + 2xy^2 + x - 4 = 0
no ponto (1,1). Para isso vamos usar diferenciação implícita para encontrar tfracdydx, que dá o coeficiente angular da tangente, e então obter o da normal como negativo do recíproco.

Passo 2

Aplicando a diferenciação implícita em
y^3 + 2xy^2 + x - 4 = 0
temos
3y^2y' ;+;l(2y^2 + 4xy,y'r);+;1 ;=;0
onde y'=tfracdydx.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y' e isolando y', obtemos
(3y^2 + 4xy),y' + (2y^2 + 1) = 0 Longrightarrow y' = -2y^2+13y^2+4xy

Passo 4

No ponto (1,1) substituímos x=1 e y=1:
y'l|(1,1) = -2cdot 1^2 + 13cdot 1^2 + 4cdot1cdot1 = -37
Logo o coeficiente angular da reta tangente é -tfrac37.

Passo 5

A equação da reta tangente em forma ponto-declive é
y - 1 = -37,(x - 1)

Passo 6

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do recíproco de -tfrac37, ou seja, tfrac73. Assim a normal é
y - 1 = 73,(x - 1)

Resposta

A reta tangente é
y - 1 = -37,(x - 1),
e a reta normal é
y - 1 = 73,(x - 1)

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