Quando uma EDO de ordem n pode ser escrita como
an(x) y^(n)+ldots+a1(x) y^prime+a0(x) y=f(x),
dizemos que ela é uma EDO linear. Mostre que:
se g(x) e h(x) resolvem (1) com f=0, então g(x)+h(x) também resolve (1).

Passo 1

O enunciado apresenta uma EDO linear de ordem n, ou seja, uma equação da forma
an(x),y^(n) + cdots + a1(x),y' + a0(x),y = f(x)
Estamos no caso homogêneo, quando f(x)=0. O que vamos usar é a propriedade de linearidade das derivadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e os coeficientes ak(x) são apenas funções multiplicativas.

Passo 2

Definimos o operador diferencial linear
L[y] = an(x),y^(n) + cdots + a1(x),y' + a0(x),y
Como g(x) e h(x) são soluções do caso homogêneo, elas satisfazem
L[g]=0 e L[h]=0

Passo 3

Para checar se g+h também é solução, aplicamos L à soma:
L[g+h] = an(x),(g+h)^(n) + cdots + a0(x),(g+h)
Como (g+h)^(k)=g^(k)+h^(k) e os ak(x) distribuem-se sobre a soma, segue
L[g+h] = l(ang^(n) + cdots + a0gr) + l(anh^(n) + cdots + a0hr) = L[g] + L[h]

Passo 4

Já que L[g]=0 e L[h]=0, concluímos
L[g+h] = 0 + 0 = 0
Portanto, g(x)+h(x) satisfaz a equação homogênea.

Resposta

g(x)+h(x) é solução de
an(x),y^(n) + cdots + a1(x),y' + a0(x),y = 0

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