Quando uma EDO de ordem
pode ser escrita como
dizemos que ela é uma EDO linear. Mostre que:
se
e
resolvem (1) com
, então
também resolve (1).
se
Passo 1
O enunciado apresenta uma EDO linear de ordem
, ou seja, uma equação da forma
Estamos no caso homogêneo, quando
. O que vamos usar é a propriedade de linearidade das derivadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e os coeficientes
são apenas funções multiplicativas.
Passo 2
Definimos o operador diferencial linear
Como
e
são soluções do caso homogêneo, elas satisfazem
Passo 3
Para checar se
também é solução, aplicamos
à soma:
Como
e os
distribuem-se sobre a soma, segue
Passo 4
Já que
e
, concluímos
Portanto,
satisfaz a equação homogênea.