Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados.
integral1^infty x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^infty xl(x^2+1r)^2,dx
que é um caso de intervalo ilimitado. Vamos usar a definição de integral imprópria como limite de integrais definidas e, para encontrar a antiderivada, aplicar uma substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral definida até b:
integral1^infty xl(x^2+1r)^2,dx =limbtoinftyintegral1^bxl(x^2+1r)^2,dx

Passo 3

Para calcular integral x(x^2+1)^2,dx, fazemos a substituição
u = x^2+1, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Assim,
integral x(x^2+1)^2,dx = integral 12,u^-2,du = -12,u^-1 + C = -12(x^2+1) + C

Passo 4

Agora avaliamos no intervalo de 1 a b e depois tomamos btoinfty:
limbtoinftyl[-tfrac12(b^2+1)r] - l[-tfrac12(1^2+1)r] = 0 + 12cdot2 = 14

Resposta

14

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