Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
e^x y-x^3+3 y^2=11

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
e^x y - x^3 + 3y^2 = 11
e pede y'=f'(x). Vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto, cadeia e derivada de constante.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(e^x yr);-;ddxl(x^3r);+;ddxl(3y^2r);=;ddx(11)

Passo 3

Calculando cada derivada:
- Para e^x y, pela regra da cadeia e produto no expoente,
ddxe^x y=e^x y,ddx(x y) =e^x yl(y + x,y'r)
- Para x^3,
ddxx^3=3x^2
- Para 3y^2,
ddx(3y^2)=6y,y'
- E dfracddx(11)=0.

Passo 4

Substituindo na equação de passo anterior:
e^x y(y + x,y') - 3x^2 + 6y,y' = 0
Agora separam-se os termos que contêm y' dos que não contêm:
e^x y,x,y' + 6y,y' + e^x y,y - 3x^2 = 0

Passo 5

Agrupando e fatorando y':
y'l(x,e^x y + 6yr) = 3x^2 - y,e^x y
Isolando y', obtemos
y' = 3x^2 - y,e^x yx,e^x y + 6y

Resposta

y' = 3x^2 - y,e^x yx,e^x y + 6y

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