Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=x sin y

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida de modo implícito pela relação
y = x sin y
e pede y' = dydx. Aqui vamos usar diferenciação implícita em ambos os lados da igualdade.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, no lado esquerdo temos
ddx(y) = y',
e no direito, usando a regra do produto para x sin y,
ddx(x sin y) = 1cdot sin y + xcdot ddx(sin y) = sin y + xcos y;y'

Passo 3

Igualando as derivadas:
y' = sin y + xcos y;y'

Passo 4

Isolamos y' reunindo os termos que o contêm:
y' - xcos y;y' = sin y Longrightarrow y',(1 - xcos y) = sin y

Passo 5

Finalmente, dividimos pelo fator 1 - xcos y:
y' = sin y1 - xcos y
Como y = xsin y, podemos ainda usar sin y = tfracyx para escrever
y' = tfracyx1 - xcos y = yx,(1 - xcos y)

Resposta

y' = sin y1 - xcos y

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