Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados.
(a)
integral1^infty x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^infty xl(x^2+1r)^2,dx
O conteúdo é integrais impróprias em intervalo ilimitado e vamos usar teste de convergência e substituição para resolver.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite
integral1^infty x(x^2+1)^2,dx = limbtoinftyintegral1^b x(x^2+1)^2,dx
Para verificar a convergência, note que para x grande
x(x^2+1)^2sim xx^4=1x^3,
e como integral1^inftyx^-3dx converge, a integral dada também converge.

Passo 3

Para calcular a primitiva, fazemos a substituição
u = x^2+1 Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du
Logo
integral x(x^2+1)^2,dx = integral 12,u^-2,du = 12,l(-u^-1r)+C = -12u+C = -12(x^2+1)+C

Passo 4

Avaliamo de 1 a b:
integral1^b x(x^2+1)^2,dx = l[-12(x^2+1)r]1^b = l(-tfrac12(b^2+1)r)-l(-tfrac12cdot2r) = -12(b^2+1)+14
Fazendo btoinfty, o termo 12(b^2+1)to0, resta
integral1^infty x(x^2+1)^2,dx = 14

Resposta

14

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