Simplifique as frações impróprias por meio da divisão entre polinômios e use frações parciais para resolver as integrais.
Exemplo: integral x^3+xx-1 d x=integral(x^2+x+2+2x-1) d x
(c)
integral x^3+2 x2 x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3+2x2x-1,dx
tratando a função como uma fração imprópria. Vamos usar divisão de polinômios para obter um quociente (polinômio) mais um resto sobre o denominador e, em seguida, integrar termo a termo.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^3+0x^2+2x por 2x-1:
  1. x^3div(2x)=tfrac12x^2. Multiplicando:
tfrac12x^2,(2x-1)=x^3-tfrac12x^2
Subtraindo, sobra tfrac12x^2+2x.
2. tfrac12x^2div(2x)=tfrac14x. Multiplicando:
tfrac14x,(2x-1)=tfrac12x^2-tfrac14x
Subtraindo, sobra tfrac94x.
3. tfrac94xdiv(2x)=tfrac98. Multiplicando:
tfrac98,(2x-1)=tfrac94x-tfrac98
Subtraindo, o resto é tfrac98.
Portanto
x^3+2x2x-1 =12x^2+14x+98+tfrac982x-1 =12x^2+14x+98+98,(2x-1)

Passo 3

Reescrevemos a integral separando cada termo:
integral x^3+2x2x-1,dx =integrall(tfrac12x^2+tfrac14x+tfrac98+tfrac98(2x-1)r),dx

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral tfrac12x^2,dx =tfrac12cdotx^33 =x^36,
integral tfrac14x,dx =tfrac14cdotx^22 =x^28,
integral tfrac98,dx =98x,
e para o último termo usamos a substituição u=2x-1, du=2,dx:
integral 98(2x-1),dx =98integral1u,du2 =916lnl|ur| =916lnl|2x-1r|

Resposta

integral x^3+2x2x-1,dx =x^36+x^28+9x8+916lnl|2x-1r|+C

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