Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados. Resolva os exercícios sem omitir nenhuma passagem em seus cálculos. Respostas sem resolução e/ou justificativa não serão consideradas. Data máxima de entrega: 29/05/2025 até 14:00 horas
integral1^infty x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^infty x(x^2+1)^2,dx
Esse é um caso de intervalo ilimitado, e vamos usar a técnica de substituição para encontrar a primitiva.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral própria:
integral1^infty x(x^2+1)^2,dx = limRtoinftyintegral1^R x(x^2+1)^2,dx

Passo 3

Para achar a primitiva de x(x^2+1)^2, fazemos a substituição
u = x^2+1, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 4

Substituindo em integral x(x^2+1)^2,dx, obtemos
integral x(x^2+1)^2,dx = integral 1u^2cdotdu2 = 12integral u^-2,du = 12l(-u^-1r)+C = -12u+C = -12(x^2+1)+C

Passo 5

Aplicando os limites de 1 a R:
integral1^R x(x^2+1)^2,dx = [-12(x^2+1)]1^R = -12(R^2+1) + 12(1^2+1)
Agora tomamos Rtoinfty. O termo -tfrac12(R^2+1) vai a zero, e
12(1^2+1) = 12cdot2 = 14

Resposta

14

Exercícios relacionados