Calcule a integral.
integral xx-6 d x
integral r^2r+4 d r
integral0^1 22 x^2+3 x+1 d x
integral0^1 x-4x^2-5 x+6 d x
integral3^4 x^3-2 x^2-4x^3-2 x^2 d x
integral-1^0 x^3-4 x+1x^2-3 x+2 d x
integral1^2 4 y^2-7 y-12y(y+2)(y-3) d y
integral 1(t^2-1)^2 d t
integral x^2+9 x^2+x+2x^2-9 d x
integral 10(x-1)(x^2+9) d x
integral 4 xx^3+x^2+x+1 d x
integral x^3+4 x+3x^4+5 x^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede doze integrais (algumas indefinidas, outras definidas) de funções racionais. Vamos usar divisão polinomial quando o grau do numerador >= grau do denominador, depois frações parciais e integrais padrão ( ln, arctan, potências).

Passo 2

Método geral para integralP(x)Q(x),dx:
1. Se deg P>=deg Q, faça divisão polinomial para obter parte inteira + resto sobre Q(x).
2. Decomponha o quociente racional em soma de frações parciais (pólos simples ou duplos).
3. Integre termo a termo usando
integraldxx-a=ln|x-a|,
integral x^-2dx=-x^-1,
integraldxx^2+a^2=1aarctan x a, etc.

Passo 3

Integral 1:
integral xx-6,dx
Dividindo x/(x-6)=1+6x-6,
integralxx-6dx =integral1,dx+6integral1x-6dx = x+6ln|x-6|+C

Passo 4

Integral 2:
integral r^2r+4,dr
Dividindo r^2/(r+4)=r-4+16r+4,
integralr^2r+4dr =integral(r-4),dr+16integral1r+4dr =r^22-4r+16ln|r+4|+C

Passo 5

Integral 3 (definida):
integral0^122x^2+3x+1dx, 2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1)
Fração parcial:
2(2x+1)(x+1)=42x+1-2x+1
Integrando,
2ln|2x+1|-2ln|x+1||0^1 =2ln3-2ln2 =2ln32

Passo 6

Integral 4 (definida):
integral0^1x-4x^2-5x+6dx, x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
Fração parcial:
x-4(x-2)(x-3)=2x-2-1x-3
Logo
2ln|x-2|-ln|x-3||0^1 =ln38

Passo 7

Integral 5 (definida):
integral3^4x^3-2x^2-4x^3-2x^2dx =integral3^4x^3-2x^2-4x^2(x-2)dx
Fração parcial:
x^3-2x^2-4x^2(x-2) =2x+2x^2-1x-2
Integrando e avaliando,
l[2ln|x|-2x-ln|x-2|r]3^4 =ln89+16

Passo 8

Integral 6 (definida):
integral-1^0x^3-4x+1x^2-3x+2dx, x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
Divisão + frações parciais:
x^3-4x+1(x-1)(x-2) =x+3+3x-5(x-1)(x-2) =x+3+2x-1+1x-2
Integrando e avaliando de -1 a 0
52-ln6

Passo 9

Integral 7 (definida):
integral1^24y^2-7y-12y(y+2)(y-3)dy
Fração parcial:
4y^2-7y-12y(y+2)(y-3) =2y+9/5y+2+1/5y-3
Integrando e avaliando,
95ln83

Passo 10

Integral 8:
integral1(t^2-1)^2dt =integral1(t-1)^2(t+1)^2dt
Fração parcial:
1(t-1)^2(t+1)^2 =-14(t-1)+14(t-1)^2 +14(t+1)+14(t+1)^2
Integrando,
14l(lnt+1t-1-1t-1-1t+1r)+C

Passo 11

Integral 9:
integral10x^2+x+2x^2-9dx
Divisão + frações parciais:
10+x+92(x-3)(x+3) =10+95/6x-3-89/6x+3
Logo
10x+956ln|x-3|-896ln|x+3|+C

Passo 12

Integral 10:
integral10(x-1)(x^2+9)dx
Fração parcial:
1x-1-xx^2+9-1x^2+9
Integrando,
ln|x-1|-12ln(x^2+9)-13arctanx3+C

Passo 13

Integral 11:
integral4xx^3+x^2+x+1dx, x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)
Fração parcial:
-2x+1+2x+2x^2+1
Integração:
-2ln|x+1|+ln(x^2+1)+2arctan x +C

Passo 14

Integral 12:
integralx^3+4x+3x^4+5x^2+4dx, x^4+5x^2+4=(x^2+1)(x^2+4)
Fração parcial:
x+1x^2+1-1x^2+4
Integrando,
12ln(x^2+1)+arctan x-12arctanx2+C

Resposta

1) x+6ln|x-6|+C 2) tfracr^22-4r+16ln|r+4|+C 3) 2ln32 4) ln38 5) ln89+tfrac16 6) tfrac52-ln6 7) tfrac95ln83 8) tfrac14l(lnt+1t-1-tfrac1t-1-tfrac1t+1r)+C 9) 10x+tfrac956ln|x-3|-tfrac896ln|x+3|+C 10) ln|x-1|-tfrac12ln(x^2+9)-tfrac13arctanx3+C 11) -2ln|x+1|+ln(x^2+1)+2arctan x+C 12) tfrac12ln(x^2+1)+arctan x-tfrac12arctanx2+C

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