Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados. Resolva os exercícios sem omitir nenhuma passagem em seus cálculos. Respostas sem resolução e/ou justificativa não serão consideradas. Data máxima de entrega: 29/05/2025 até 14:00 horas
integral3^infty 1(x-2)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral3^infty 1(x-2)^3/2,dx,
ou seja, uma integral em limite infinito. Para resolver isso, vamos usar a definição de integral imprópria como limite de integrais em intervalos finitos e, em seguida, um método de substituição simples.

Passo 2

Transformamos a integral em um limite finito, introduzindo uma cota superior b e depois fazendo btoinfty:
integral3^infty 1(x-2)^3/2,dx = limbtoinfty integral3^b 1(x-2)^3/2,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x-2, du = dx
Quando x=3, u=1; quando x=b, u=b-2. Logo,
integral3^b 1(x-2)^3/2,dx = integral1^,b-2 u^-3/2,du

Passo 4

Agora integramos u^-3/2. Sabemos que
integral u^-3/2,du = u^-1/2-tfrac12 = -2,u^-1/2
Portanto,
integral1^,b-2 u^-3/2,du = l[-2,u^-1/2r]1^,b-2 = l(-2,(b-2)^-1/2r) - l(-2cdot1^-1/2r) = -2,(b-2)^-1/2 + 2

Passo 5

Retornamos ao limite btoinfty:
limbtoinftyl(-2,(b-2)^-1/2 + 2r) = 0 + 2 = 2
Logo a integral converge e vale 2.

Resposta

2

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