Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty ln (n)e^n

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a convergência da série de termos positivos
sumn=1^inftyln(n)e^n
O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da razão, que funciona bem quando temos fator exponencial.

Passo 2

Denotemos
an = ln(n)e^n
O teste da razão diz que, se
L = limntoinftyan+1an
existe e L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = ln(n+1)e^,n+1ln(n)e^,n = ln(n+1)ln(n)cdote^,ne^,n+1 = ln(n+1)ln(n)cdot1e
Agora tomamos o limite:
L = limntoinftyln(n+1)ln(n)cdot1e = 1cdot1e =1e<1

Passo 4

Como o teste da razão dá L=tfrac1e<1, concluímos que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftyln(n)e^n converge.

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