Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty 11+raizn

Passo 1

A questão pede para determinar se a série
sumn=1^infty11+raizn
converge ou diverge. Aqui vamos usar o teste da comparação por limite associado ao teste da p-série, já que para grandes n temos tfrac11+raizn comportando-se como tfrac1raizn, e sabemos que a p-série
sumn=1^infty1n^p
diverge sempre que p<=1.

Passo 2

Definimos a série comparadora
sumn=1^inftybn com bn=1raizn
Aplicamos o teste da comparação por limite, calculando
L=limntoinftyanbn onde an=11+raizn

Passo 3

Calculamos o limite:
L =limntoinfty11+raizn1raizn =limntoinftyraizn1+raizn =limntoinfty11raizn+1 =1
Como 0< L<infty e sabemos que sum bn=sum1/raizn é uma p-série com p=tfrac12<=1, ela diverge. Logo, pela comparação por limite, sum an também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty11+raizn diverge.

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