Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados. Resolva os exercícios sem omitir nenhuma passagem em seus cálculos. Respostas sem resolução e/ou justificativa não serão consideradas. Data máxima de entrega: 29/05/2025 até 14:00 horas
integral-infty^infty x e^-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x,e^-x^2,dx
Este é um caso de integral em intervalo ilimitado. Para resolvê-la, vamos usar a definição de integral imprópria em intervalo simétrico e a propriedade de funções ímpares.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de integrais definidas em [-A,A]:
integral-infty^infty x,e^-x^2,dx = limAtoinftyintegral-A^A x,e^-x^2,dx

Passo 3

Definimos f(x)=x,e^-x^2. Observe que
f(-x)=(-x),e^-(-x)^2 = -x,e^-x^2 = -f(x),
ou seja, f é uma função ímpar.

Passo 4

Para qualquer A>0, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico anula-se:
integral-A^Af(x),dx = 0
Portanto,
integral-A^A x,e^-x^2,dx = 0 forall A>0

Passo 5

Fazendo Atoinfty mantemos o valor zero:
limAtoinftyintegral-A^A x,e^-x^2,dx = 0

Resposta

integral-infty^infty x,e^-x^2,dx = 0

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