Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo:
f(x)=2 x(x+raizx)^13

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2xl(x+raizxr)^13
Aqui vamos usar regras de derivação de potências, produto e cadeia.

Passo 2

Primeiro simplificamos f escrevendo a raiz como potência:
x+raizx=x+x^12,
então
f(x) =2xl(x+x^tfrac12r)^-tfrac13 =2,x^1,(x^tfrac12(x^tfrac12+1))^-tfrac13 =2,x^1,x^-tfrac16,(x^tfrac12+1)^-tfrac13 =2,x^tfrac56,(x^tfrac12+1)^-tfrac13

Passo 3

Definimos
u(x)=2,x^tfrac56, v(x)=(x^tfrac12+1)^-tfrac13,
então f=uv. Calculamos
u'(x)=2cdot56,x^tfrac56-1 =53,x^-tfrac16,
v'(x)=-13,(x^tfrac12+1)^-tfrac43cdot12,x^-tfrac12 =-16,x^-tfrac12,(x^tfrac12+1)^-tfrac43
Logo, por produto,
f'(x)=u'v+uv' =53,x^-tfrac16(x^tfrac12+1)^-tfrac13 -13,x^tfrac56-tfrac12(x^tfrac12+1)^-tfrac43

Passo 4

Fatorando tfrac13,x^-tfrac16(x^tfrac12+1)^-tfrac43 obtemos
f'(x) =13,x^-tfrac16(x^tfrac12+1)^-tfrac43l[5(x^tfrac12+1)-x^tfrac12r] =13,x^-tfrac16(x^tfrac12+1)^-tfrac43(4x^tfrac12+5)
Reescrevendo em termos de raizx e voltando ao denominador original,
f'(x) =4raizx+53,x^tfrac16,( raizx+1)^tfrac43 =4raizx+53,(raizx+1),(x+raizx)^tfrac13

Resposta

f'(x)=4raizx+53,(raizx+1),(x+raizx)^13

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